Questão 3 (3 pontos) - Um aviăo de transporte pode operar 12 h por dia, 6 dias por semana. Sua velocidade de cruzeiro é de 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O consumo de combustível é de 0,05 \mathrm{~kg} / hora para cada Newton de força de empuxo produzida. Considere a massa total de 2500 Kg , atmosfera padrão, as asas tem 30 m 2 de área planiforme efetiva, razão de aspecto 10 , projetadas com o perfil NACA 23015 , supondo que o número de Reynolds do problema seja próximo aos dados publicados na figura do livro texto, determine
(b) a força de arrasto
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos (vou listar TUDO que vem no enunciado):
Pedido: (b) determinar a força de arrasto do avião em cruzeiro.
Dados que pegamos do enunciado:
massa total: m=2500\\ \mathrm{kg}.
velocidade de cruzeiro: V=100\\ \mathrm{m/s}.
área planiforme efetiva das asas: S=30\\ \mathrm{m^2}.
razão de aspecto: \mathrm{AR}=10.
perfil: NACA 23015 (o enunciado diz que os dados de arrasto dependem do número de Reynolds e que esse Re é próximo aos dados da figura do livro).
atmosfera padrão (vou assumir nível do mar com densidade padrão \rho=1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3} e aceleração da gravidade g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
Observação importante: o enunciado refere uma figura do livro-texto com dados do perfil (coeficiente de arrasto em função de número de Reynolds / ângulo de ataque). Essa figura NÃO foi enviada aqui. Para obter o coeficiente de arrasto de perfil (parte viscosa/parasitária) é necessário consultar essa figura. Vou mostrar tudo que pode ser calculado sem a figura e como usar a figura para completar o cálculo. Se quiser o valor numérico exato do arrasto total, será preciso fornecer o valor do coeficiente de arrasto do perfil retirado da figura.
Passo 2
Estratégia de solução (por que e como vamos calcular): decompor o arrasto e usar as fórmulas básicas.
Em voo nivelado e em regime, a sustentação compensa o peso, portanto:
L = W = m g.
A sustentação também pode ser escrita como
L = \tfrac{1}{2}\,\rho V^{2} S C_{L},
onde C_{L} é o coeficiente de sustentação do conjunto asa. Dessa igualdade podemos isolar C_{L}.
O arrasto total da asa (considerando apenas o arrasto aerodinâmico da asa) costuma ser escrito como soma de arrasto de forma/parasitário (ou perfil) e arrasto induzido:
C_{D} = C_{d0} + C_{D,i},
onde C_{d0} é o coeficiente de arrasto de perfil (obtido da figura do perfil a dado Re e C_L) e
C_{D,i} = \frac{C_{L}^{2}}{\pi\,\mathrm{AR}\,e}
é o coeficiente de arrasto induzido (fórmula de aerodinâmica de asas com eficiência de Oswald e). A força de arrasto então é
D = \tfrac{1}{2}\,\rho V^{2} S C_{D} = \tfrac{1}{2}\,\rho V^{2} S\bigl(C_{d0} + C_{D,i}\bigr).
Vou calcular C_{L}, C_{D,i} (numérico) e dar a expressão final em função de C_{d0}. Explico cada passo e o significado das variáveis.
Passo 3
Calcular o coeficiente de sustentação C_{L} (passo-chave; explico a fórmula).
Peso: W = m g = 2500\cdot 9{,}81 = 24525\\ \mathrm{N}.
Igualando sustentação ao peso:
\tfrac{1}{2}\rho V^{2} S C_{L} = W \quad\Longrightarrow\quad C_{L} = \frac{2W}{\rho V^{2} S}.
Interpretação: em cruzeiro a asa opera com coeficiente de sustentação \approx 0{,}1335 — um valor pequeno, típico para velocidades altas.
Passo 4
Calcular o coeficiente de arrasto induzido C_{D,i} (explico a fórmula e a origem do fator e).
Fórmula:
C_{D,i} = \frac{C_{L}^{2}}{\pi\,\mathrm{AR}\,e}.
\pi é a constante 3{,}14159…
\mathrm{AR} é a razão de aspecto dada (10).
e é o fator de eficiência de Oswald: mede imperfeições tridimensionais na distribuição de sustentação; para asas reais tipicamente e varia entre \approx 0{,}7 e 0{,}95. Como não foi dado, vou calcular C_{D,i} em função de e e também dar números para e=0{,}8 e e=0{,}9 (valores plausíveis para uma asa de transporte).
Força de arrasto total (expressa em função de C_{d0}):
D = qS\bigl(C_{d0} + C_{D,i}\bigr) = 183750\bigl(C_{d0} + C_{D,i}\bigr)\\ \mathrm{N}.
Ou, substituindo o valor de C_{D,i} (usando e simbólico):
D = 183750\left(C_{d0} + \frac{(0{,}13348)^{2}}{\pi\cdot 10\cdot e}\right)\\ \mathrm{N}.
Passo 6
Por que NÃO posso dar um valor numérico único para D sem a figura do livro e como obter esse valor completo:
O coeficiente C_{d0} (arrasto de perfil/parasitário da asa) depende do perfil NACA 23015, do número de Reynolds local e do coeficiente de sustentação C_{L}. Esses dados estão na figura do livro-texto que você mencionou, mas essa figura NÃO foi enviada aqui.
Logo, sem consultar a figura (ou sem fornecer um valor de C_{d0}) não é possível dar o arrasto total exato.
O que eu já calculei e que é definitivo (não depende da figura): C_{L} (≈0{,}1335), C_{D,i} (≈6{,}3\cdot 10^{-4} a 7{,}1\cdot 10^{-4} dependendo de e), e o fator qS=183750\\ \mathrm{N}. Com isso é trivial obter D assim que o C_{d0} for conhecido.
Passo 7
Como determinar C_{d0} na prática usando a figura do livro (passo a passo que você pode fazer rápido na prova ou estudando):
Calcule o calado médio (corda) da asa para achar o número de Reynolds a usar na figura:
corda média c = \dfrac{S}{b} \approx \dfrac{30}{17{,}3205}\approx 1{,}73205\\ \mathrm{m}.
Número de Reynolds aproximado:
Re = \frac{\rho V c}{\mu} \quad\text{(ou)}\quad Re = \frac{V c}{\nu}.
Usando viscosidade cinemática típica do ar a 15^\circ\mathrm{C}, \nu\approx 1{,}46\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}:
Re \approx \frac{100\cdot 1{,}73205}{1{,}46\cdot 10^{-5}}\approx 1{,}19\cdot 10^{7}.
Na figura do livro (ou na curva C_d vs C_L para o NACA 23015), localize a curva correspondente a Re\approx 1{,}2\cdot 10^{7} e ao C_L\approx 0{,}1335. Leia o valor do coeficiente de arrasto correspondente — esse é C_{d0} (ou mais precisamente o C_d do perfil no C_L dado). Use esse C_{d0} na fórmula do Passo 5 para obter D.
Passo 8
Exemplos numéricos ilustrativos (apenas para dar ordem de grandeza — NÃO são substitutos do valor obtido na figura):
Se hipoteticamente C_{d0}=0{,}006 (valor plausível para uma asa limpa em Reynolds alto), então
D \approx 183750\cdot(0{,}006 + 0{,}000709)\approx 183750\cdot 0{,}006709 \approx 1233\\ \mathrm{N}.
Se hipoteticamente C_{d0}=0{,}010, então
D \approx 183750\cdot(0{,}010 + 0{,}000709)\approx 183750\cdot 0{,}010709 \approx 1968\\ \mathrm{N}.
Se o perfil fosse ideal e C_{d0}=0 (caso extremo), o arrasto seria apenas induzido, entre
D = 183750\left(C_{d0} + \dfrac{(0{,}13348)^{2}}{\pi\cdot 10\cdot e}\right)\\ \mathrm{N}. C_{L}\approx 0{,}13348. C_{D,i}\approx 7{,}09\cdot 10^{-4} (para e=0{,}8) \Rightarrow D_{i}\approx 130{,}3\\ \mathrm{N}. C_{D,i}\approx 6{,}30\cdot 10^{-4} (para e=0{,}9) \Rightarrow D_{i}\approx 115{,}7\\ \mathrm{N}.
(Para obter o valor numérico exato de D é necessário o valor de C_{d0} para o NACA 23015 no Re\approx 1{,}2\cdot10^{7} e C_{L}\approx0{,}1335 — esse valor deve ser lido na figura do livro-texto mencionada no enunciado.)