Questão 3 (3 pontos) - Um aviăo de transporte pode operar 12 h por dia, 6 dias por semana. Sua velocidade de cruzeiro é de 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O consumo de combustível é de 0,05 \mathrm{~kg} / hora para cada Newton de força de empuxo produzida. Considere a massa total de 2500 Kg , atmosfera padrão, as asas tem 30 m 2 de área planiforme efetiva, razão de aspecto 10 , projetadas com o perfil NACA 23015 , supondo que o número de Reynolds do problema seja próximo aos dados publicados na figura do livro texto, determine
(b) a força de arrasto

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (vou listar TUDO que vem no enunciado):
  • Pedido: (b) determinar a força de arrasto do avião em cruzeiro.
  • Dados que pegamos do enunciado:
    • massa total: m=2500\\ \mathrm{kg}.
    • velocidade de cruzeiro: V=100\\ \mathrm{m/s}.
    • área planiforme efetiva das asas: S=30\\ \mathrm{m^2}.
    • razão de aspecto: \mathrm{AR}=10.
    • perfil: NACA 23015 (o enunciado diz que os dados de arrasto dependem do número de Reynolds e que esse Re é próximo aos dados da figura do livro).
    • atmosfera padrão (vou assumir nível do mar com densidade padrão \rho=1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3} e aceleração da gravidade g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
  • Observação importante: o enunciado refere uma figura do livro-texto com dados do perfil (coeficiente de arrasto em função de número de Reynolds / ângulo de ataque). Essa figura NÃO foi enviada aqui. Para obter o coeficiente de arrasto de perfil (parte viscosa/parasitária) é necessário consultar essa figura. Vou mostrar tudo que pode ser calculado sem a figura e como usar a figura para completar o cálculo. Se quiser o valor numérico exato do arrasto total, será preciso fornecer o valor do coeficiente de arrasto do perfil retirado da figura.

Passo 2

Estratégia de solução (por que e como vamos calcular): decompor o arrasto e usar as fórmulas básicas.
  • Em voo nivelado e em regime, a sustentação compensa o peso, portanto:
L = W = m g.
  • A sustentação também pode ser escrita como
L = \tfrac{1}{2}\,\rho V^{2} S C_{L},
onde C_{L} é o coeficiente de sustentação do conjunto asa. Dessa igualdade podemos isolar C_{L}.
  • O arrasto total da asa (considerando apenas o arrasto aerodinâmico da asa) costuma ser escrito como soma de arrasto de forma/parasitário (ou perfil) e arrasto induzido:
C_{D} = C_{d0} + C_{D,i},
onde C_{d0} é o coeficiente de arrasto de perfil (obtido da figura do perfil a dado Re e C_L) e
C_{D,i} = \frac{C_{L}^{2}}{\pi\,\mathrm{AR}\,e}
é o coeficiente de arrasto induzido (fórmula de aerodinâmica de asas com eficiência de Oswald e). A força de arrasto então é
D = \tfrac{1}{2}\,\rho V^{2} S C_{D} = \tfrac{1}{2}\,\rho V^{2} S\bigl(C_{d0} + C_{D,i}\bigr).
Vou calcular C_{L}, C_{D,i} (numérico) e dar a expressão final em função de C_{d0}. Explico cada passo e o significado das variáveis.

Passo 3

Calcular o coeficiente de sustentação C_{L} (passo-chave; explico a fórmula).
  • Peso: W = m g = 2500\cdot 9{,}81 = 24525\\ \mathrm{N}.
  • Igualando sustentação ao peso:
\tfrac{1}{2}\rho V^{2} S C_{L} = W \quad\Longrightarrow\quad C_{L} = \frac{2W}{\rho V^{2} S}.
  • Substituindo números (tudo em LaTeX):
C_{L} = \frac{2\cdot 24525}{1{,}225\cdot 100^{2}\cdot 30}.
  • Calculemos passo a passo:
    • 100^{2}=10000.
    • Denominador: 1{,}225\cdot 10000\cdot 30 = 367500.
    • Numerador: 2\cdot 24525 = 49050.
    • Então
C_{L} = \frac{49050}{367500}\approx 0{,}13348.
Interpretação: em cruzeiro a asa opera com coeficiente de sustentação \approx 0{,}1335 — um valor pequeno, típico para velocidades altas.

Passo 4

Calcular o coeficiente de arrasto induzido C_{D,i} (explico a fórmula e a origem do fator e).
  • Fórmula:
C_{D,i} = \frac{C_{L}^{2}}{\pi\,\mathrm{AR}\,e}.
  • \pi é a constante 3{,}14159…
  • \mathrm{AR} é a razão de aspecto dada ( 10).
  • e é o fator de eficiência de Oswald: mede imperfeições tridimensionais na distribuição de sustentação; para asas reais tipicamente e varia entre \approx 0{,}7 e 0{,}95. Como não foi dado, vou calcular C_{D,i} em função de e e também dar números para e=0{,}8 e e=0{,}9 (valores plausíveis para uma asa de transporte).
  • Primeiro calcule C_{L}^{2}:
C_{L}^{2} \approx (0{,}13348)^{2} \approx 0{,}01782.
  • Agora o denominador \pi\cdot\mathrm{AR}\cdot e para dois e típicos:
    • Para e=0{,}8: \pi\cdot 10\cdot 0{,}8 \approx 25{,}1327.
    • Para e=0{,}9: \pi\cdot 10\cdot 0{,}9 \approx 28{,}2743.
  • Assim
C_{D,i}\big|_{e=0{,}8} \approx \frac{0{,}01782}{25{,}1327}\approx 0{,}000709,
C_{D,i}\big|_{e=0{,}9} \approx \frac{0{,}01782}{28{,}2743}\approx 0{,}000630.
Comentário didático: o arrasto induzido aqui é muito pequeno porque a velocidade é alta e o C_L requerido é baixo.

Passo 5

Calcular a pressão dinâmica e transformar os coeficientes em forças (mostrando como obter o arrasto numérico quando se conhece C_{d0}).
  • Pressão dinâmica:
q=\tfrac{1}{2}\rho V^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}225\cdot 100^{2} = 6125\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • Produto qS:
qS = 6125\cdot 30 = 183750\\ \mathrm{N}.
  • Força de arrasto induzido:
D_{i} = qS\,C_{D,i}.
  • Números:
D_{i}\big|_{e=0{,}8} \approx 183750\cdot 0{,}000709 \approx 130{,}3\\ \mathrm{N},
D_{i}\big|_{e=0{,}9} \approx 183750\cdot 0{,}000630 \approx 115{,}7\\ \mathrm{N}.
  • Força de arrasto total (expressa em função de C_{d0}):
D = qS\bigl(C_{d0} + C_{D,i}\bigr) = 183750\bigl(C_{d0} + C_{D,i}\bigr)\\ \mathrm{N}.
Ou, substituindo o valor de C_{D,i} (usando e simbólico):
D = 183750\left(C_{d0} + \frac{(0{,}13348)^{2}}{\pi\cdot 10\cdot e}\right)\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Por que NÃO posso dar um valor numérico único para D sem a figura do livro e como obter esse valor completo:
  • O coeficiente C_{d0} (arrasto de perfil/parasitário da asa) depende do perfil NACA 23015, do número de Reynolds local e do coeficiente de sustentação C_{L}. Esses dados estão na figura do livro-texto que você mencionou, mas essa figura NÃO foi enviada aqui.
  • Logo, sem consultar a figura (ou sem fornecer um valor de C_{d0}) não é possível dar o arrasto total exato.
  • O que eu já calculei e que é definitivo (não depende da figura): C_{L} (≈ 0{,}1335), C_{D,i} (≈ 6{,}3\cdot 10^{-4} a 7{,}1\cdot 10^{-4} dependendo de e), e o fator qS=183750\\ \mathrm{N}. Com isso é trivial obter D assim que o C_{d0} for conhecido.

Passo 7

Como determinar C_{d0} na prática usando a figura do livro (passo a passo que você pode fazer rápido na prova ou estudando):
  1. Calcule o calado médio (corda) da asa para achar o número de Reynolds a usar na figura:
    • extensão (envergadura) b = \sqrt{\mathrm{AR}\cdot S} = \sqrt{10\cdot 30} = \sqrt{300}\approx 17{,}3205\\ \mathrm{m}.
    • corda média c = \dfrac{S}{b} \approx \dfrac{30}{17{,}3205}\approx 1{,}73205\\ \mathrm{m}.
  2. Número de Reynolds aproximado:
Re = \frac{\rho V c}{\mu} \quad\text{(ou)}\quad Re = \frac{V c}{\nu}.
Usando viscosidade cinemática típica do ar a 15^\circ\mathrm{C}, \nu\approx 1{,}46\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}:
Re \approx \frac{100\cdot 1{,}73205}{1{,}46\cdot 10^{-5}}\approx 1{,}19\cdot 10^{7}.
  1. Na figura do livro (ou na curva C_d vs C_L para o NACA 23015), localize a curva correspondente a Re\approx 1{,}2\cdot 10^{7} e ao C_L\approx 0{,}1335. Leia o valor do coeficiente de arrasto correspondente — esse é C_{d0} (ou mais precisamente o C_d do perfil no C_L dado). Use esse C_{d0} na fórmula do Passo 5 para obter D.

Passo 8

Exemplos numéricos ilustrativos (apenas para dar ordem de grandeza — NÃO são substitutos do valor obtido na figura):
  • Se hipoteticamente C_{d0}=0{,}006 (valor plausível para uma asa limpa em Reynolds alto), então
D \approx 183750\cdot(0{,}006 + 0{,}000709)\approx 183750\cdot 0{,}006709 \approx 1233\\ \mathrm{N}.
  • Se hipoteticamente C_{d0}=0{,}010, então
D \approx 183750\cdot(0{,}010 + 0{,}000709)\approx 183750\cdot 0{,}010709 \approx 1968\\ \mathrm{N}.
  • Se o perfil fosse ideal e C_{d0}=0 (caso extremo), o arrasto seria apenas induzido, entre
D_{i}\approx 116\\ \mathrm{N}\\ \text{(para }e=0{,}9\text{)}\\ \text{e}\\\ 130\\ \mathrm{N}\\ \text{(para }e=0{,}8\text{)}.

Resposta

D = 183750\left(C_{d0} + \dfrac{(0{,}13348)^{2}}{\pi\cdot 10\cdot e}\right)\\ \mathrm{N}.
C_{L}\approx 0{,}13348.
C_{D,i}\approx 7{,}09\cdot 10^{-4} (para e=0{,}8) \Rightarrow D_{i}\approx 130{,}3\\ \mathrm{N}.
C_{D,i}\approx 6{,}30\cdot 10^{-4} (para e=0{,}9) \Rightarrow D_{i}\approx 115{,}7\\ \mathrm{N}.
(Para obter o valor numérico exato de D é necessário o valor de C_{d0} para o NACA 23015 no Re\approx 1{,}2\cdot10^{7} e C_{L}\approx0{,}1335 — esse valor deve ser lido na figura do livro-texto mencionada no enunciado.)

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