Questão
pontos) b)(1,5 pontos) Resolva o seguinte sistema usando a transformada de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais onde:
O objetivo é resolver esse sistema usando a transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e manipular as transformadas para encontrar as soluções de $ x(t) $ e $ y(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambas as equações do sistema. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é:
Onde $ F(s) $ é a transformada de $ f(t) $.
Aplicando isso nas nossas equações:
Para a primeira equação $ \dot{x} = y $:
Substituindo $ x(0) = 1 $:
Para a segunda equação $ \dot{y} = x $:
Substituindo $ y(0) = 0 $:
Passo 3
Agora vamos usar a equação (2) para expressar $ X(s) $ em termos de $ Y(s) $:
Substituindo esse resultado na equação (1):
Vamos reorganizar os termos para isolar $ Y(s) $:
Portanto:
Passo 4
Agora que temos $ Y(s) $, vamos encontrar $ X(s) $ usando a equação (2):
Agora temos as transformadas de Laplace de $ x(t) $ e $ y(t) $:
Passo 5
Para encontrar $ x(t) $ e $ y(t) $, precisamos fazer a transformada inversa de Laplace dessas expressões.
Sabemos que:
No nosso caso, $ a = 1 $, então:
Resposta
A solução do sistema é: