Questão 3(3,0 pontos) b)(1,5 pontos) Resolva o seguinte sistema usando a transformada de Laplace.
c dotx=y doty=x x(0)=1, y(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais onde:
dotx = y doty = x x(0) = 1, y(0) = 0
O objetivo é resolver esse sistema usando a transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e manipular as transformadas para encontrar as soluções de $ x(t) $ e $ y(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambas as equações do sistema. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é:
Ldotf(t) = sF(s) - f(0)
Onde $ F(s) $ é a transformada de $ f(t) $.
Aplicando isso nas nossas equações:
Para a primeira equação $ \dot{x} = y $:
F(s)
Substituindo $ x(0) = 1 $:
f(t)
Para a segunda equação $ \dot{y} = x $:
dotx = y
Substituindo $ y(0) = 0 $:
Ldotx = Ly Rightarrow sX(s) - x(0) = Y(s)

Passo 3

Agora vamos usar a equação (2) para expressar $ X(s) $ em termos de $ Y(s) $:
X(s)
Substituindo esse resultado na equação (1):
Y(s)
Vamos reorganizar os termos para isolar $ Y(s) $:
X(s) = sY(s)
Portanto:
s(sY(s)) - 1 = Y(s) Rightarrow s^2 Y(s) - 1 = Y(s)

Passo 4

Agora que temos $ Y(s) $, vamos encontrar $ X(s) $ usando a equação (2):
Y(s)
Agora temos as transformadas de Laplace de $ x(t) $ e $ y(t) $:
X(s)

Passo 5

Para encontrar $ x(t) $ e $ y(t) $, precisamos fazer a transformada inversa de Laplace dessas expressões.
Sabemos que:
x(t)
y(t)
No nosso caso, $ a = 1 $, então:
L^-1 ss^2 - a^2 = cosh(at)
L^-1 1s^2 - a^2 = sinh(at)a

Resposta

A solução do sistema é:
x(t) = cosh(t), y(t) = sinh(t)

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