Questão 1 (3 pontos): É dito que um ciclo termodinâmico (ar condicionado) mantém a temperatura interna de uma casa a 23{ }^{\circ} \mathrm{C} enquanto a temperatura externa à casa é 35{ }^{\circ} \mathrm{C}. Calor é retirado do ambiente frio com taxa de 2 kW , enquanto é rejeitado para o ambiente quente com taxa de 4 kW . Pede-se: (a) estimar a eficiência do ciclo termodinâmico apresentado; (b) estimar a eficiência de um ciclo de Carnot operando entre as mesmas temperaturas; e (c) o ciclo apresentado é possível? Porque?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura interna (ambiente frio): 23{ }^{\circ}\mathrm{C}.
    • Temperatura externa (ambiente quente): 35{ }^{\circ}\mathrm{C}.
    • Taxa de calor retirada do ambiente frio: \dot{Q}_C = 2\\ \text{kW}.
    • Taxa de calor rejeitada para o ambiente quente: \dot{Q}_H = 4\\ \text{kW}.
  • O enunciado pede:
    (a) estimar a eficiência do ciclo termodinâmico apresentado;
    (b) estimar a eficiência de um ciclo de Carnot operando entre as mesmas temperaturas;
    (c) decidir se o ciclo apresentado é possível e justificar o porquê.

Passo 2

Comentário sobre escolha do que calcular (sem resolver ainda): o enunciado pede explicitamente, no item (b), a eficiência de um ciclo de Carnot. A fórmula usual para eficiência de Carnot \eta_{\rm Carnot}=1-\dfrac{T_C}{T_H} refere-se à eficiência térmica de um motor térmico (heat engine) que absorve calor do reservatório quente \dot{Q}_H e converte parte em trabalho \dot{W}. Por isso vamos comparar a eficiência térmica do ciclo apresentado (tomando a convenção de um motor térmico que recebe \dot{Q}_H e entrega trabalho \dot{W}) com a eficiência de Carnot entre as mesmas temperaturas. Vou explicitar as fórmulas e os passos detalhadamente.

Passo 3

Definição e fórmula da eficiência térmica de um ciclo (heat engine).
  • A eficiência térmica \eta de um motor térmico é a razão entre a potência de saída em trabalho \dot{W} e a potência de calor absorvida do reservatório quente \dot{Q}_H:
\eta=\frac{\dot{W}}{\dot{Q}_H}.
  • Conservação de energia (primeira lei) para o ciclo (regime estacionário) dá:
\dot{W}=\dot{Q}_H-\dot{Q}_C,
onde \dot{Q}_C é o calor que sai para o reservatório frio. Vou usar essas fórmulas com os números do enunciado.

Passo 4

Calcular a potência de trabalho \dot{W} usando os valores dados.
  • Substituindo \dot{Q}_H=4\\ \text{kW} e \dot{Q}_C=2\\ \text{kW}:
\dot{W}=\dot{Q}_H-\dot{Q}_C=4\\ \text{kW}-2\\ \text{kW}=2\\ \text{kW}.
Explanação: isso significa que, tomado como motor térmico, o ciclo produziria 2\\ \text{kW} de trabalho líquido.

Passo 5

Calcular a eficiência térmica \eta do ciclo apresentado com a fórmula da etapa anterior.
  • Usando \eta=\dfrac{\dot{W}}{\dot{Q}_H}:
\eta=\frac{2\\ \text{kW}}{4\\ \text{kW}}=\frac{1}{2}=0{,}5.
  • Em porcentagem:
\eta = 0{,}5 = 50\%.
Comentário didático: a eficiência indica que metade da energia térmica que entra (4 kW) seria convertida em trabalho (2 kW) e a outra metade (2 kW) é rejeitada ao frio.

Passo 6

Fórmula e explicação da eficiência de Carnot.
  • A eficiência máxima possível para um motor térmico operando reversivelmente entre dois reservatórios à temperatura absoluta T_H (quente) e T_C (frio) é a eficiência de Carnot:
\eta_{\rm Carnot}=1-\frac{T_C}{T_H}.
  • Observação importante: as temperaturas devem estar em escala absoluta (Kelvin). Vou converter as temperaturas dadas.

Passo 7

Converter as temperaturas de Celsius para Kelvin.
  • Conversão: \,T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15\,.
  • Para o ambiente frio:
T_C = 23{ }^{\circ}\mathrm{C} + 273{,}15 = 296{,}15\\ \text{K}.
  • Para o ambiente quente:
T_H = 35{ }^{\circ}\mathrm{C} + 273{,}15 = 308{,}15\\ \text{K}.

Passo 8

Calcular numericamente \eta_{\rm Carnot}.
  • Aplicando a fórmula:
\eta_{\rm Carnot}=1-\frac{T_C}{T_H}=1-\frac{296{,}15}{308{,}15}.
  • A diferença \,T_H-T_C=308{,}15-296{,}15=12{,}00\\ \text{K}, então
\eta_{\rm Carnot}=\frac{12{,}00}{308{,}15}\approx0{,}03895\approx0{,}039.
  • Em porcentagem:
\eta_{\rm Carnot}\approx3{,}9\%.
Comentário didático: isto mostra que, entre temperaturas tão próximas (23 °C e 35 °C), a eficiência máxima teórica de um motor térmico é muito baixa (alguns por cento).

Passo 9

Comparação das eficiências e conclusão sobre possibilidade do ciclo.
  • Encontramos para o ciclo apresentado: \eta=50\%.
  • Para um motor reversível operando entre as mesmas temperaturas: \eta_{\rm Carnot}\approx3{,}9\%.
  • Princípio físico relevante (segunda lei da termodinâmica): nenhum motor térmico operando entre dois reservatórios pode ter eficiência maior que a eficiência de Carnot entre esses dois reservatórios. Portanto, um ciclo que apresentasse \eta=50\% entre T_H=308{,}15\\ \text{K} e T_C=296{,}15\\ \text{K} violaria a segunda lei.
  • Conclusão: o ciclo, interpretado como motor térmico com as taxas de calor dadas, não é possível, porque sua eficiência excede a eficiência limite de Carnot. Isso seria equivalente a afirmar a existência de uma máquina térmica mais eficiente que uma máquina reversível ideal — algo proibido pela termodinâmica (configura uma máquina de movimento perpétuo de segunda espécie).

Passo 10

Comentário adicional (didático, para clarear ambiguidade sobre “ar condicionado”):
  • Se interpretarmos o dispositivo como um refrigerador/condicionador de ar, o parâmetro usual é o coeficiente de desempenho (COP) para refrigeração:
\text{COP}_{\text{fr}}=\frac{\dot{Q}_C}{\dot{W}}=\frac{2\\ \text{kW}}{2\\ \text{kW}}=1.
  • Esse \text{COP}=1 é baixo (há aparelhos com COP bem maiores), mas não contraria a segunda lei. Porém como o enunciado pediu explicitamente a eficiência de Carnot no item (b), a comparação natural é entre eficiências térmicas de motores e aí a interpretação como motor térmico é a que permite confrontar com \eta_{\rm Carnot}. Por isso a resposta do item (c) afirma que o ciclo (como motor térmico com \eta=50\%) é impossível.

Resposta

(a) \eta = 0{,}5 = 50\%
(b) \eta_{\rm Carnot}=1-\dfrac{296{,}15}{308{,}15}\approx0{,}03895\approx3{,}9\%
(c) Não. Porque \eta=50\% excede \eta_{\rm Carnot}\approx3{,}9\%; isso violaria a segunda lei da termodinâmica.

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