Questão 1, 2 pontos. Uma bolha de vapor de densidade de diâmetro D movimenta-se em água de viscosidades
. O movimento da bolha de vapor é para cima com velocidade V. Sabe-se que o sistema sofre a influência da diferença de pressão
entre o topo e a base e da diferença de densidade entre a bolha e a água
. Pede-se para determinar os adimensionais relevantes no processo.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os adimensionais relevantes para o problema de uma bolha de vapor (diâmetro
) que sobe com velocidade
em água com viscosidade
, sabendo-se que atuam a diferença de pressão entre topo e base
e a diferença de densidade entre bolha e água
.
Informações e quantidades fornecidas pelo enunciado (peguei-as do enunciado):
Informações e quantidades fornecidas pelo enunciado (peguei-as do enunciado):
- comprimento característico:
(diâmetro da bolha), dimensão . - velocidade da bolha:
, dimensão . - viscosidade dinâmica do fluido:
, dimensão . - diferença de pressão entre topo e base:
, dimensão . - diferença de densidade bolha–água:
, dimensão .
Observação prática (necessária para o problema): para formular os adimensionais aparecem também constantes físicas que influenciam o problema e não foram explicitamente listadas no enunciado, portanto elas são incluídas entre as variáveis relevantes:
- densidade do fluido (água)
, dimensão (usada como escala de densidade); - aceleração da gravidade
, dimensão (importante porque o movimento para cima é resultado de forças de flutuabilidade).
O que o problema pede exatamente: escrever os números adimensionais (os grupos
) que controlam o fenômeno e explicar o que cada um representa.
Passo 2
Breve explicação do método que vou usar (mini-aula): Buckingham
-theorem.
- ideia: se um processo depende de
variáveis com dimensões fundamentais (aqui ), então podemos descrever o problema por grupos adimensionais independentes ( -grupos). - procedimento prático: escolher um conjunto de variáveis repetidas (com todas as dimensões
entre elas), e combinar as outras variáveis com potência dessas repetidas para construir combinações adimensionais.
Vou listar as dimensões de cada variável (útil para montar os):
Contagem:
variáveis listadas
. Dimensões fundamentais
. Logo esperamos
grupos adimensionais independentes.
Passo 3
Escolha das variáveis repetidas e razão dessa escolha (mini-dica): é comum escolher
(comprimento),
(velocidade) e
(densidade do fluido) como variáveis repetidas porque entre elas já aparecem as três dimensões
e são escala natural para comprimento, velocidade e massa/força fluidodinâmica. Usando
podemos construir os quatro grupos restantes envolvendo
.
Vou construir cada
passo a passo.
Passo 4
Construção do primeiro
: número de Reynolds.
Procuramos uma combinação do tipo que seja adimensional; mais direto: o número de Reynolds é a razão inerça/viscosa conhecida. Mostrar por conta própria como aparece: exigir dimensões neutras.
Procuramos uma combinação do tipo
Dimensões de
:
, que é exatamente as dimensões de
. Portanto a combinação
é adimensional. Nome e interpretação:
é o número de Reynolds
que mede a razão entre forças inerciais e forças viscosas no escoamento ao redor da bolha. Na prática controla o regime (laminar, transicional, turbulento) do escoamento.
Passo 5
Construção do segundo
: coeficiente de pressão adimensional.
Queremos um grupo que envolva . A combinação natural é comparar
com a pressão dinâmica típica
. Verificação dimensional:
e
, portanto a razão é adimensional. Definimos
Queremos um grupo que envolva
Nome/interpret.: é um coeficiente de pressão dinâmico (equivalente a um
local médio): compara a diferença de pressão entre topo e base com a pressão dinâmica do escoamento
. É útil para saber se a
observada é grande ou pequena em relação à inércia do fluido.
Passo 6
Construção do terceiro
: razão de densidade adimensional.
A diferença de densidade por si só tem dimensão de densidade; uma combinação natural e muito usada é a razão entre a diferença de densidade e a densidade do fluido:
A diferença de densidade
Nome/interpret.: é a razão adimensional de densidade (às vezes chamada de razão de Atwood ou simplesmente razão de densidades para este contexto). Mede a intensidade relativa da flutuabilidade: quando
é pequena, a força de flutuabilidade é pequena em relação à massa de fluido envolvida; quando é da ordem de 1, a diferença é forte.
Passo 7
Construção do quarto
: comparação inércia × gravidade (Froude).
Como o movimento da bolha é impulsionado pela flutuabilidade (força gravitacional por diferença de densidade), aparece a aceleração gravitacional . Uma combinação clássica que compara efeitos de inércia e efeitos gravitacionais é o número de Froude. Definimos
Como o movimento da bolha é impulsionado pela flutuabilidade (força gravitacional por diferença de densidade), aparece a aceleração gravitacional
Verificação dimensional:
e
, logo
é adimensional. Interpretação:
mede a razão entre velocidade característica e a velocidade característica associada à gravidade sobre a escala
. Alternativamente usa-se
ou, para problemas de flutuabilidade, usa-se também o número de Archimedes/Grashof que combina
explicitamente — mas essa é uma combinação construída a partir dos grupos já listados (veja observação abaixo).
Passo 8
Relações entre grupos e outras formas úteis (mini-aula prática):
- Com os grupos acima pode-se formar outros números conhecidos. Por exemplo a Archimedes number
(ou Grashof adaptado para forças de flutuabilidade) que compara forças de flutuabilidade com forças viscosas pode ser escrito, usando , como
Esse
pode ser obtido combinando os grupos já definidos: por exemplo
(há relações entre Re, Fr,
que geram
). Não é obrigatório apresentar todas essas formas, mas é útil saber que as escolhas
constituem um conjunto suficiente e físico para descrever o problema.
Passo 9
Resumo físico e dica prática para a prova (encorajamento amigo):
- Para estudar o comportamento da bolha, os quatro grupos mais relevantes e intuitivos são:
- número de Reynolds
: controla o regime do escoamento ao redor da bolha; - coeficiente de pressão
: diz se a diferença de pressão é pequena ou grande em relação à pressão dinâmica; - razão de densidade
: controla a intensidade relativa da flutuabilidade; - número de Froude
: compara efeitos inerciais com efeitos gravitacionais.
- número de Reynolds
Na prova: se pedirem os adimensionais “relevantes”, escreva esses quatro com suas fórmulas e explique em uma frase o que cada um mede — é um ganho rápido de pontos.