Questão 1, 2 pontos. Uma bolha de vapor de densidade de diâmetro D movimenta-se em água de viscosidades \mu. O movimento da bolha de vapor é para cima com velocidade V. Sabe-se que o sistema sofre a influência da diferença de pressão \Delta \mathrm{P} entre o topo e a base e da diferença de densidade entre a bolha e a água \Delta \rho. Pede-se para determinar os adimensionais relevantes no processo.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os adimensionais relevantes para o problema de uma bolha de vapor (diâmetro D) que sobe com velocidade V em água com viscosidade \mu, sabendo-se que atuam a diferença de pressão entre topo e base \Delta P e a diferença de densidade entre bolha e água \Delta \rho.
Informações e quantidades fornecidas pelo enunciado (peguei-as do enunciado):
  • comprimento característico: D (diâmetro da bolha), dimensão L.
  • velocidade da bolha: V, dimensão L\,T^{-1}.
  • viscosidade dinâmica do fluido: \mu, dimensão M\,L^{-1}\,T^{-1}.
  • diferença de pressão entre topo e base: \Delta P, dimensão M\,L^{-1}\,T^{-2}.
  • diferença de densidade bolha–água: \Delta \rho, dimensão M\,L^{-3}.
Observação prática (necessária para o problema): para formular os adimensionais aparecem também constantes físicas que influenciam o problema e não foram explicitamente listadas no enunciado, portanto elas são incluídas entre as variáveis relevantes:
  • densidade do fluido (água) \rho, dimensão M\,L^{-3} (usada como escala de densidade);
  • aceleração da gravidade g, dimensão L\,T^{-2} (importante porque o movimento para cima é resultado de forças de flutuabilidade).
O que o problema pede exatamente: escrever os números adimensionais (os grupos \Pi) que controlam o fenômeno e explicar o que cada um representa.

Passo 2

Breve explicação do método que vou usar (mini-aula): Buckingham \Pi-theorem.
  • ideia: se um processo depende de n variáveis com r dimensões fundamentais (aqui M,L,T\Rightarrow r=3), então podemos descrever o problema por k=n-r grupos adimensionais independentes ( \Pi-grupos).
  • procedimento prático: escolher um conjunto de variáveis repetidas (com todas as dimensões M,L,T entre elas), e combinar as outras variáveis com potência dessas repetidas para construir combinações adimensionais.
    Vou listar as dimensões de cada variável (útil para montar os \Pi):
\begin{aligned} [D] &= L,\\\ [V] &= L\,T^{-1},\\\ [\mu] &= M\,L^{-1}\,T^{-1},\\\ [\Delta P] &= M\,L^{-1}\,T^{-2},\\\ [\Delta\rho] &= M\,L^{-3},\\\ [\rho] &= M\,L^{-3},\\\ [g] &= L\,T^{-2}. \end{aligned}
Contagem: n=7 variáveis listadas (D,V,\mu,\Delta P,\Delta\rho,\rho,g). Dimensões fundamentais r=3. Logo esperamos k=n-r=4 grupos adimensionais independentes.

Passo 3

Escolha das variáveis repetidas e razão dessa escolha (mini-dica): é comum escolher D (comprimento), V (velocidade) e \rho (densidade do fluido) como variáveis repetidas porque entre elas já aparecem as três dimensões L,T,M e são escala natural para comprimento, velocidade e massa/força fluidodinâmica. Usando D,V,\rho podemos construir os quatro grupos restantes envolvendo \mu,\Delta P,\Delta\rho,g.
Vou construir cada \Pi passo a passo.

Passo 4

Construção do primeiro \Pi: número de Reynolds.
Procuramos uma combinação do tipo \Pi_1 = \rho^a V^b D^c \mu que seja adimensional; mais direto: o número de Reynolds é a razão inerça/viscosa conhecida. Mostrar por conta própria como aparece: exigir dimensões neutras.
Dimensões de \rho V D: [\rho V D] = (M\,L^{-3})(L\,T^{-1})(L) = M\,L^{-1}\,T^{-1}, que é exatamente as dimensões de \mu. Portanto a combinação
\Pi_1 = \frac{\rho V D}{\mu}
é adimensional. Nome e interpretação: \Pi_1 é o número de Reynolds
\text{Re} \equiv \frac{\rho V D}{\mu},
que mede a razão entre forças inerciais e forças viscosas no escoamento ao redor da bolha. Na prática controla o regime (laminar, transicional, turbulento) do escoamento.

Passo 5

Construção do segundo \Pi: coeficiente de pressão adimensional.
Queremos um grupo que envolva \Delta P. A combinação natural é comparar \Delta P com a pressão dinâmica típica \rho V^2. Verificação dimensional: [\Delta P]=M\,L^{-1}\,T^{-2} e [\rho V^2]=M\,L^{-1}\,T^{-2}, portanto a razão é adimensional. Definimos
\Pi_2 \equiv \frac{\Delta P}{\rho V^2}.
Nome/interpret.: é um coeficiente de pressão dinâmico (equivalente a um C_p local médio): compara a diferença de pressão entre topo e base com a pressão dinâmica do escoamento \rho V^2. É útil para saber se a \Delta P observada é grande ou pequena em relação à inércia do fluido.

Passo 6

Construção do terceiro \Pi: razão de densidade adimensional.
A diferença de densidade \Delta\rho por si só tem dimensão de densidade; uma combinação natural e muito usada é a razão entre a diferença de densidade e a densidade do fluido:
\Pi_3 \equiv \frac{\Delta\rho}{\rho}.
Nome/interpret.: é a razão adimensional de densidade (às vezes chamada de razão de Atwood ou simplesmente razão de densidades para este contexto). Mede a intensidade relativa da flutuabilidade: quando \Delta\rho/\rho é pequena, a força de flutuabilidade é pequena em relação à massa de fluido envolvida; quando é da ordem de 1, a diferença é forte.

Passo 7

Construção do quarto \Pi: comparação inércia × gravidade (Froude).
Como o movimento da bolha é impulsionado pela flutuabilidade (força gravitacional por diferença de densidade), aparece a aceleração gravitacional g. Uma combinação clássica que compara efeitos de inércia e efeitos gravitacionais é o número de Froude. Definimos
\Pi_4 \equiv \mathrm{Fr} \equiv \frac{V}{\sqrt{gD}}.
Verificação dimensional: [V]=L\,T^{-1} e [\sqrt{gD}]=\sqrt{(L\,T^{-2})(L)}=L\,T^{-1}, logo \mathrm{Fr} é adimensional. Interpretação: \mathrm{Fr} mede a razão entre velocidade característica e a velocidade característica associada à gravidade sobre a escala D. Alternativamente usa-se \mathrm{Fr}^{-2}=V^2/(gD) ou, para problemas de flutuabilidade, usa-se também o número de Archimedes/Grashof que combina \Delta\rho explicitamente — mas essa é uma combinação construída a partir dos grupos já listados (veja observação abaixo).

Passo 8

Relações entre grupos e outras formas úteis (mini-aula prática):
  • Com os grupos acima pode-se formar outros números conhecidos. Por exemplo a Archimedes number Ar (ou Grashof adaptado para forças de flutuabilidade) que compara forças de flutuabilidade com forças viscosas pode ser escrito, usando \nu=\mu/\rho, como
Ar \sim \frac{g\,\Delta\rho\,D^3}{\rho\,\nu^2} = \frac{g\,\Delta\rho\,D^3\,\rho^2}{\rho\,\mu^2} = \frac{g\,\Delta\rho\,\rho\,D^3}{\mu^2}.
Esse Ar pode ser obtido combinando os grupos já definidos: por exemplo \displaystyle Ar \propto \frac{\Pi_3}{\Pi_4^2}\,\Pi_1^{2} (há relações entre Re, Fr, \Delta\rho/\rho que geram Ar). Não é obrigatório apresentar todas essas formas, mas é útil saber que as escolhas \{\mathrm{Re},\,\Delta P/(\rho V^2),\,\Delta\rho/\rho,\,\mathrm{Fr}\} constituem um conjunto suficiente e físico para descrever o problema.

Passo 9

Resumo físico e dica prática para a prova (encorajamento amigo):
  • Para estudar o comportamento da bolha, os quatro grupos mais relevantes e intuitivos são:
    • número de Reynolds \mathrm{Re}: controla o regime do escoamento ao redor da bolha;
    • coeficiente de pressão \Delta P/(\rho V^2): diz se a diferença de pressão é pequena ou grande em relação à pressão dinâmica;
    • razão de densidade \Delta\rho/\rho: controla a intensidade relativa da flutuabilidade;
    • número de Froude \mathrm{Fr}=V/\sqrt{gD}: compara efeitos inerciais com efeitos gravitacionais.
Na prova: se pedirem os adimensionais “relevantes”, escreva esses quatro com suas fórmulas e explique em uma frase o que cada um mede — é um ganho rápido de pontos.

Resposta

\displaystyle \mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu}
\displaystyle \frac{\Delta P}{\rho V^{2}}
\displaystyle \frac{\Delta\rho}{\rho}
\displaystyle \mathrm{Fr}=\frac{V}{\sqrt{gD}}

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