• Exercício 3.14. Um forno de formato cúbico, com altura de 5 ft , está isolado com 4^{\prime \prime} de um material isolante ( \mathrm{k}=1 \mathrm{Btu} / \mathrm{h} . \mathrm{ft}^{\circ} \mathrm{F} ). Nele são inseridas 1500 \mathrm{lb} / \mathrm{h} de uma liga metálica, que se funde a 1100 oF , com calor latente de fusão da liga de 300 \mathrm{Btu} / \mathrm{lb}. O forno se encontra em um ambiente onde a temperatura é 75^{\circ} \mathrm{F} e o coeficiente de película é 2 Btu/h.ft. { }^{\circ} \mathrm{F}. Desprezandose a resistência térmica do forno e admitindo-se que a liga já entre a 1100^{\circ} \mathrm{F}, pede-se : a) o fluxo de calor pelas 6 faces do forno
    b) quantos HP são necessários para fundir a liga e compensar as perdas ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Forno em forma de cubo com aresta 5\\ \text{ft}.
  • Espessura do isolante 4'' = \dfrac{4}{12}\\ \text{ft} = \dfrac{1}{3}\\ \text{ft}.
  • Condutividade térmica do isolante k = 1\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}\cdot{}^\circ\mathrm{F}).
  • Coeficiente de película (convecção exterior) h = 2\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^2\cdot{}^\circ\mathrm{F}).
  • Temperatura interna (da liga) T_i = 1100^\circ\mathrm{F}.
  • Temperatura ambiente T_\infty = 75^\circ\mathrm{F}.
  • Vazão mássica da liga \dot{m} = 1500\\ \mathrm{lb}/\mathrm{h}.
  • Calor latente de fusão da liga L_f = 300\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lb}.
  • Despreza-se a resistência térmica do forno metálico (ou seja, considerar apenas a resistência do isolante e a convecção exterior).
O enunciado pede:
(a) o fluxo de calor pelas 6 faces do forno (ou seja, perda total de calor \dot{Q}_{\text{perda}} em \mathrm{Btu}/\mathrm{h});
(b) quantos cavalos-vapor (HP) são necessários para fundir a liga e compensar as perdas do forno.

Passo 2

Modelo físico e fórmula básica — como pensar no problema passo a passo.
Explicação didática (sem pressa): o calor sai do interior quente do forno ( T_i), passa através do isolante (condução) e então atravessa a camada de ar exterior agindo como convecção para o ambiente ( T_\infty). Como negligenciamos a resistência do metal interno, podemos modelar duas resistências térmicas em série por unidade de área:
  • resistência por condução no isolante: \dfrac{L}{k}, onde L é a espessura do isolante (em ft) e k é a condutividade térmica; essa resistência representa quanto “dificulta” o fluxo por condução;
  • resistência por convecção no lado externo: \dfrac{1}{h}, onde h é o coeficiente convectivo; essa é a resistência do filme de ar externo.
A expressão para o fluxo de calor por unidade de área (densidade de fluxo térmico) é uma forma de Lei de Ohm térmica:
q''=\dfrac{T_i-T_\infty}{\dfrac{L}{k}+\dfrac{1}{h}},
onde:
  • q'' é o calor por unidade de área ( \mathrm{Btu}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^2),
  • T_i e T_\infty são temperaturas internas e externas,
  • L em ft, k em \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}\cdot{}^\circ\mathrm{F}),
  • h em \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^2\cdot{}^\circ\mathrm{F}).
Depois de achar q'' multiplica-se pela área total A para obter a perda total \dot{Q}_{\text{perda}}=q''\cdot A.

Passo 3

Calcular resistências e q'' numericamente.
Primeiro converter a espessura:
L=\dfrac{4}{12}\\ \text{ft}=\dfrac{1}{3}\\ \text{ft}\approx0{,}333333\\ \text{ft}.
A diferença de temperatura:
\Delta T = T_i - T_\infty = 1100 - 75 = 1025\\ ^\circ\mathrm{F}.
Resistências por unidade de área:
\frac{L}{k}=\frac{1/3}{1}=\frac{1}{3}\approx0{,}333333\\ \text{(unidades compatíveis)}, \qquad \frac{1}{h}=\frac{1}{2}=0{,}5.í
Resistência térmica total por unidade de área:
R_{\text{tot}}=\frac{L}{k}+\frac{1}{h}=0{,}333333+0{,}5=0{,}833333.
Agora aplicar a fórmula para q'':
q''=\dfrac{\Delta T}{R_{\text{tot}}}=\dfrac{1025}{0{,}833333}=1025\times1{,}2=1230\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^2).
Comentário prático: o fator 1{,}2 aparece porque 1/0{,}833333=1{,}2.

Passo 4

Calcular a área total do cubo e a perda total de calor.
Área de uma face: \text{lado}^2=5^2=25\\ \mathrm{ft}^2.
Área total das 6 faces:
A_{\text{total}}=6\times25=150\\ \mathrm{ft}^2.
Perda total de calor pelas 6 faces:
\dot{Q}_{\text{perda}}=q''\cdot A_{\text{total}}=1230\times150=184\,500\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{h}.
Verificação rápida de unidade: (\mathrm{Btu}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^2)\times\mathrm{ft}^2=\mathrm{Btu}/\mathrm{h}, ok.

Passo 5

Calcular a potência necessária para fundir a liga (energia de fusão por hora).
A energia necessária por hora para fundir a vazão de liga é simplesmente:
\dot{Q}_{\text{fusão}}=\dot{m}\,L_f=1500\\ \mathrm{lb}/\mathrm{h}\times300\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lb}=450\,000\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{h}.ã
Isso representa o calor que deve ser fornecido por hora só para a mudança de fase (sólido para líquido), desprezando qualquer aquecimento sensível adicional (o enunciado assume que a liga entra já a 1100^\circ\mathrm{F}).

Passo 6

Somar perdas e calor de fusão para obter a necessidade total de energia por hora e converter para HP.
Necessidade total de energia por hora:
\dot{Q}_{\text{total}}=\dot{Q}_{\text{fusão}}+\dot{Q}_{\text{perda}}=450\,000+184\,500=634\,500\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{h}.ã
Conversão para cavalos-vapor: usar a relação padrão
1\\ \text{HP}\approx2544{,}43\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{h}.
Portanto
\text{HP}=\frac{\dot{Q}_{\text{total}}}{2544{,}43}=\frac{634\,500}{2544{,}43}\approx249{,}4\\ \text{HP}.
(Se preferir arredondar, dá cerca de 249{,}4\\ \text{HP}, ou aproximadamente 249\\ \text{HP}.)

Resposta

\dot{Q}_{\text{perda}}=184\,500\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{h}
\text{Potência necessária}\approx249{,}4\\ \mathrm{HP}êá

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