Questão 1 (4 pontos). Para cada afirmação a seguir, assinale a alternativa correta (Verdadeira ou Falsa). Justifique a seguir a sua resposta. Só serão consideradas respostas completas, com todas as justificativas e cálculos.
Item 1.1. (2 pontos). A seguinte igualdade
\int_{c}^{d} \int_{a}^{b} \frac{x y^{2}}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\left[\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x\right] \cdot\left[\int_{c}^{d} h(y) \mathrm{d} y\right]
onde g, h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} são funções contínuas está correta.
Verdadeira ou Falsa.
Justificativa:
Item 1.2. (2 pontos). Considere f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma funçāo contínua. A igualdade está correta.
\int_{0}^{1 / 2} \int_{x}^{-x+1} f(x, y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1 / 2} \int_{0}^{y} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\int_{0}^{1 / 2} \int_{0}^{1-y} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
Verdadeira
Justificativa:
ou
Falsa.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede em cada item.
  • Item 1.1: O enunciado apresenta a igualdade
\int_{c}^{d} \int_{a}^{b} \frac{x y^{2}}{x^{2}+1} \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \left[\int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm{d}x\right]\cdot\left[\int_{c}^{d} h(y)\,\mathrm{d}y\right],
e afirma que existem funções contínuas g,h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} que fazem essa igualdade verdadeira. A pergunta: essa afirmação é Verdadeira ou Falsa? Justificar.
  • Item 1.2: Para f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} contínua, analisa-se a igualdade
\int_{0}^{1/2}\int_{x}^{-x+1} f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1/2}\int_{0}^{y} f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y + \int_{0}^{1/2}\int_{0}^{1-y} f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.
A pergunta: essa igualdade é Verdadeira ou Falsa? Justificar.
A partir daqui faço a resolução passo a passo, desenhando a região quando necessário e explicando a teoria usada.

Passo 2

Item 1.1 — verificar se a integral é produto de integrais.
  1. Observe o integrando:
\frac{x y^{2}}{x^{2}+1}.
Ele pode ser escrito como produto de uma função que depende só de x por uma função que depende só de y. Defino
g(x)=\frac{x}{x^{2}+1},\qquad h(y)=y^{2}.
  1. Verifico continuidade: para todo x\in\mathbb{R} temos x^{2}+1>0, então g(x) é quociente de funções polinomiais com denominador nunca nulo, logo g é contínua em \mathbb{R}. A função h(y)=y^{2} é polinomial, logo contínua em \mathbb{R}. Assim ambas são contínuas, como exigido no enunciado.
  2. Faço a integral usando separação (passo a passo para a prova):
  • Primeiro, dentro do integrando substituir pela fatoração:
\frac{x y^{2}}{x^{2}+1}=g(x)\,h(y).
  • Calcule a integral interna em x mantendo y fixo:
\int_{a}^{b} g(x)h(y)\,\mathrm{d}x = h(y)\int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm{d}x,
pois h(y) é constante em relação à integração em x.
  • Agora integro em y:
\int_{c}^{d}\left(h(y)\int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y =\left(\int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm{d}x\right)\left(\int_{c}^{d} h(y)\,\mathrm{d}y\right),
pois \int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm{d}x é uma constante (em y) que pode ser fatorada para fora da integração em y.
  1. Conclusão do raciocínio para o exame: sempre que o integrando em um produto iterado sobre um retângulo [a,b]\times[c,d] se separa em g(x)h(y) com g,h integráveis (aqui contínuas), a integral dupla é o produto das integrais individuais. Portanto a igualdade apresentada é correta.

Passo 3

Didática curta (o que lembrar para a prova sobre o item 1.1)
  • Quando na integral \displaystyle\int_{c}^{d}\int_{a}^{b} F(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y aparecer F(x,y)=g(x)h(y), proceda assim: calcule \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x (é uma constante em y), depois multiplique por \int_c^d h(y)\,\mathrm{d}y.
  • Teorema de Fubini garante a troca/uso da integração iterada para funções contínuas e integráveis; aqui não há problema porque g,h contínuas implicam g(x)h(y) contínua na região retangular.

Passo 4

Item 1.2 — análise da região e mudança de ordem de integração.
  1. Identificar a região de integração D dada pela integral da esquerda:
\int_{0}^{1/2}\int_{x}^{-x+1} f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x.
Isto descreve o conjunto de pontos (x,y) tal que
0\le x\le \tfrac{1}{2},\qquad x\le y\le 1-x.
Portanto
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 0\le x\le\tfrac{1}{2},\\ x\le y\le 1-x\}.
  1. Determinar os valores possíveis de y na região D.
  • Para x=0 temos y\in[0,1].
  • Para x=\tfrac{1}{2} temos y\in[\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}], ou seja y=\tfrac{1}{2}.
    Assim globalmente y varia de 0 até 1:
0\le y\le 1.
  1. Para trocar a ordem de integração, para cada y fixo achar os x que satisfazem as desigualdades da região:
    As condições equivalem a
0\le x\le\tfrac{1}{2},\quad x\le y,\quad x\le 1-y.
Isto é
0\le x\le \min\{y,\,1-y,\,\tfrac{1}{2}\}.
  1. Separar casos em função de y:
  • Se 0\le y\le\tfrac{1}{2}, então y\le\tfrac{1}{2} e 1-y\ge\tfrac{1}{2}, logo \min\{y,1-y,\tfrac{1}{2}\}=y. Assim, para y\in[0,\tfrac{1}{2}] tem-se 0\le x\le y.
  • Se \tfrac{1}{2}\le y\le 1, então 1-y\le\tfrac{1}{2} e y\ge\tfrac{1}{2}, logo \min\{y,1-y,\tfrac{1}{2}\}=1-y. Assim, para y\in[\tfrac{1}{2},1] tem-se 0\le x\le 1-y.
  1. Portanto a integral dupla com ordem trocada é
\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{y} f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \;+\; \int_{1/2}^{1}\int_{0}^{1-y} f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.
Isto é a expressão correta obtida ao inverter a ordem de integração da integral original.

Passo 5

Comparação com a expressão dada no enunciado e contraexemplo numérico.
  1. A expressão dada no enunciado é
\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{y} f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y + \int_{0}^{1/2}\int_{0}^{1-y} f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.
Compare com o resultado correto do Passo 4: a segunda integral do enunciado tem o limite externo y variando apenas até \tfrac{1}{2}, enquanto a expressão correta requer que a segunda integral em y vá de \tfrac{1}{2} até 1. Portanto as duas expressões NÃO coincidem em geral; a igualdade proposta é incorreta.
  1. Para visualizar rapidamente a diferença, uso um contraexemplo simples: escolha f(x,y)=1 (função contínua, integrável). Então ambas integrais representam áreas de regiões, e posso calcular explicitamente.
  • Lado esquerdo (origem):
\int_{0}^{1/2}\int_{x}^{1-x} 1\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1/2} \big[(1-x)-x\big]\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1/2} (1-2x)\,\mathrm{d}x.
Calculo:
\int_{0}^{1/2} (1-2x)\,\mathrm{d}x = \Big[x - x^{2}\Big]_{0}^{1/2} = \left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}\right)-0 = \tfrac{1}{4}.
  • Lado direito (expressão do enunciado) com f\equiv1:
    Primeiro termo:
\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{y}1\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{0}^{1/2} y\,\mathrm{d}y = \left[\tfrac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1/2} = \tfrac{1}{8}.
Segundo termo:
\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{1-y}1\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{0}^{1/2} (1-y)\,\mathrm{d}y = \left[y - \tfrac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1/2} = \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{8}=\tfrac{3}{8}.
Somando:
\tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{8}=\tfrac{1}{2}.
  1. Resultado do contraexemplo: LHS =\tfrac{1}{4} mas RHS (do enunciado) =\tfrac{1}{2}. São diferentes, logo a igualdade do enunciado é falsa em geral.

Passo 6

Didática curta (como proceder na prova para questões desse tipo)
  • Sempre comece desenhando a região D dada pelas desigualdades dos limites iterados. Uma pequena figura ajuda bastante.
  • Ao trocar a ordem de integração: escreva as desigualdades que definem D, resolva para a variável que agora ficará interna (aqui x) em função da variável externa (aqui y), e verifique se é necessário dividir o intervalo do novo parâmetro em subintervalos (aqui foi preciso: y\in[0,\tfrac{1}{2}] e y\in[\tfrac{1}{2},1]).
  • Se houver dúvida, teste a igualdade com uma função simples (por exemplo f\equiv 1) — isso costuma denunciar erros de limites rapidamente.

Resposta

Item 1.1: Verdadeira
Item 1.2: Falsa

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