Questão 1 (4 pontos). Para cada afirmação a seguir, assinale a alternativa correta (Verdadeira ou Falsa). Justifique a seguir a sua resposta. Só serão consideradas respostas completas, com todas as justificativas e cálculos.
Item 1.1. (2 pontos). A seguinte igualdade
onde
são funções contínuas está correta.
Verdadeira ou Falsa.
Justificativa:
Item 1.2. (2 pontos). Considere
uma funçāo contínua. A igualdade está correta.
Verdadeira
Justificativa:
ou
Falsa.
Item 1.1. (2 pontos). A seguinte igualdade
Verdadeira ou Falsa.
Justificativa:
ou
Falsa.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede em cada item.
- Item 1.1: O enunciado apresenta a igualdade
e afirma que existem funções contínuas
que fazem essa igualdade verdadeira. A pergunta: essa afirmação é Verdadeira ou Falsa? Justificar.
- Item 1.2: Para
contínua, analisa-se a igualdade
A pergunta: essa igualdade é Verdadeira ou Falsa? Justificar.
A partir daqui faço a resolução passo a passo, desenhando a região quando necessário e explicando a teoria usada.
Passo 2
Item 1.1 — verificar se a integral é produto de integrais.
- Observe o integrando:
Ele pode ser escrito como produto de uma função que depende só de
por uma função que depende só de
. Defino
-
Verifico continuidade: para todo
temos , então é quociente de funções polinomiais com denominador nunca nulo, logo é contínua em . A função é polinomial, logo contínua em . Assim ambas são contínuas, como exigido no enunciado. -
Faço a integral usando separação (passo a passo para a prova):
- Primeiro, dentro do integrando substituir pela fatoração:
- Calcule a integral interna em
mantendo fixo:
pois
é constante em relação à integração em
.
- Agora integro em
:
pois
é uma constante (em
) que pode ser fatorada para fora da integração em
.
- Conclusão do raciocínio para o exame: sempre que o integrando em um produto iterado sobre um retângulo
se separa em com integráveis (aqui contínuas), a integral dupla é o produto das integrais individuais. Portanto a igualdade apresentada é correta.
Passo 3
Didática curta (o que lembrar para a prova sobre o item 1.1)
- Quando na integral
aparecer , proceda assim: calcule (é uma constante em ), depois multiplique por . - Teorema de Fubini garante a troca/uso da integração iterada para funções contínuas e integráveis; aqui não há problema porque
contínuas implicam contínua na região retangular.
Passo 4
Item 1.2 — análise da região e mudança de ordem de integração.
- Identificar a região de integração
dada pela integral da esquerda:
Isto descreve o conjunto de pontos
tal que
Portanto
- Determinar os valores possíveis de
na região .
- Para
temos . - Para
temos , ou seja .
Assim globalmentevaria de até :
- Para trocar a ordem de integração, para cada
fixo achar os que satisfazem as desigualdades da região:
As condições equivalem a
Isto é
- Separar casos em função de
:
- Se
, então e , logo . Assim, para tem-se . - Se
, então e , logo . Assim, para tem-se .
- Portanto a integral dupla com ordem trocada é
Isto é a expressão correta obtida ao inverter a ordem de integração da integral original.
Passo 5
Comparação com a expressão dada no enunciado e contraexemplo numérico.
- A expressão dada no enunciado é
Compare com o resultado correto do Passo 4: a segunda integral do enunciado tem o limite externo
variando apenas até
, enquanto a expressão correta requer que a segunda integral em
vá de
até
. Portanto as duas expressões NÃO coincidem em geral; a igualdade proposta é incorreta.
- Para visualizar rapidamente a diferença, uso um contraexemplo simples: escolha
(função contínua, integrável). Então ambas integrais representam áreas de regiões, e posso calcular explicitamente.
- Lado esquerdo (origem):
Calculo:
- Lado direito (expressão do enunciado) com
:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando:
- Resultado do contraexemplo: LHS
mas RHS (do enunciado) . São diferentes, logo a igualdade do enunciado é falsa em geral.
Passo 6
Didática curta (como proceder na prova para questões desse tipo)
- Sempre comece desenhando a região
dada pelas desigualdades dos limites iterados. Uma pequena figura ajuda bastante. - Ao trocar a ordem de integração: escreva as desigualdades que definem
, resolva para a variável que agora ficará interna (aqui ) em função da variável externa (aqui ), e verifique se é necessário dividir o intervalo do novo parâmetro em subintervalos (aqui foi preciso: e ). - Se houver dúvida, teste a igualdade com uma função simples (por exemplo
) — isso costuma denunciar erros de limites rapidamente.
Resposta
Item 1.1: Verdadeira
Item 1.2: Falsa