Questão 3: ( 6,0 pontos) Em cada item abaixo, dado o operador linear T sobre os \mathbb{R}-espaços vetoriais indicados, determine, caso existam, os autovalores (reais) e autovetores de T. Verifique se T é ou não diagonalizável, justificando sua resposta. Caso T seja diagonalizável, apresente uma base \alpha do espaço vetorial tal que a matriz de T nessa base seja diagonal e exiba a matriz [T]_{\alpha}^{\alpha}. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, dada por T(x, y, z)=(x,-z, y).
e pede os autovalores reais, autovetores correspondentes, e verificar se T é diagonalizável sobre \mathbb{R}. Se for diagonalizável, precisamos exibir uma base de autovetores que torne a matriz de T diagonal.
Passo 2
Vamos escrever a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}. Note que T(e_1)=T(1,0,0)=(1,0,0), T(e_2)=T(0,1,0)=(0,0,1), T(e_3)=T(0,0,1)=(0,-1,0).
Logo,
As equações são -y - z = 0 e y - z = 0. Desses, y = -z e y = z implicam y = z = 0. Logo x é livre. Um autovetor genérico é \,(x,0,0) = x\,(1,0,0), x\neq0.
O espaço próprio é \mathrm{span}\{(1,0,0)\}.
Passo 6
Como só há um autovalor real de multiplicidade 1, obtemos apenas um autovetor real linearmente independente. Para ser diagonalizável em \mathbb{R}^3, precisaríamos de 3 autovetores reais independentes. Concluímos que Tnão é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
Resposta
Autovalor real: \lambda=1.
Eigenspace: \mathrm{span}\{(1,0,0)\}.
Não há outros autovalores reais, e T não é diagonalizável em \mathbb{R}^3.