Questão 3: ( 6,0 pontos) Em cada item abaixo, dado o operador linear
sobre os
-espaços vetoriais indicados, determine, caso existam, os autovalores (reais) e autovetores de T. Verifique se
é ou não diagonalizável, justificando sua resposta. Caso
seja diagonalizável, apresente uma base
do espaço vetorial tal que a matriz de
nessa base seja diagonal e exiba a matriz
.
, dada por
.
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
,
.
Queremos achar autovalores e autovetores reais, verificar se é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir uma base de autovetores e a matriz diagonal correspondente.
Queremos achar autovalores e autovetores reais, verificar se
Passo 2
Na base canônica
temos
O polinômio característico é
Passo 3
Da equação
vemos que os autovalores são
e
, distintos e reais.
Passo 4
Para
resolvemos
que dá
e
livre. Um autovetor é
.
Para resolvemos
Para
que dá
. Um autovetor é
.
Passo 5
Como temos dois autovalores distintos com um autovetor cada e esses autovetores
são linearmente independentes,
é diagonalizável. Na base
a matriz de
fica diagonal.
Resposta
Autovalores:
,
.
Autovetores: para qualquer múltiplo de
; para
qualquer múltiplo de
.
é diagonalizável com base de autovetores
e
Autovetores: para