Questão 3: ( 6,0 pontos) Em cada item abaixo, dado o operador linear T sobre os \mathbb{R}-espaços vetoriais indicados, determine, caso existam, os autovalores (reais) e autovetores de T. Verifique se T é ou não diagonalizável, justificando sua resposta. Caso T seja diagonalizável, apresente uma base \alpha do espaço vetorial tal que a matriz de T nessa base seja diagonal e exiba a matriz [T]_{\alpha}^{\alpha}.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, dada por T(x, y)=(2 x+2 y, y).

Passo 1

O enunciado dá o operador linear \;T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, \;T(x,y)=(2x+2y,\;y).
Queremos achar autovalores e autovetores reais, verificar se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir uma base de autovetores e a matriz diagonal correspondente.

Passo 2

Na base canônica \{e_1,e_2\} temos
A=[T]_{\,\{e_i\}}^{\{e_i\}} =\begin{pmatrix}2&2\\\ 0&1\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}2-\lambda&2\\\ 0&1-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)(1-\lambda).

Passo 3

Da equação
(2-\lambda)(1-\lambda)=0
vemos que os autovalores são \lambda_1=2 e \lambda_2=1, distintos e reais.

Passo 4

Para \lambda_1=2 resolvemos
(A-2I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}0&2\\\ 0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}
que dá y=0 e x livre. Um autovetor é v_1=(1,0).
Para \lambda_2=1 resolvemos
(A-I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}1&2\\\ 0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}
que dá x=-2y. Um autovetor é v_2=(-2,1).

Passo 5

Como temos dois autovalores distintos com um autovetor cada e esses autovetores \{v_1,v_2\}=\{(1,0),(-2,1)\} são linearmente independentes, T é diagonalizável. Na base \alpha=\{v_1,v_2\} a matriz de T fica diagonal.

Resposta

Autovalores: \lambda_1=2, \lambda_2=1.
Autovetores: para \lambda_1 qualquer múltiplo de (1,0); para \lambda_2 qualquer múltiplo de (-2,1). T é diagonalizável com base de autovetores \alpha=\{(1,0),\,(-2,1)\} e
[T]_{\alpha}^{\alpha} =\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.

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