Questão 3: ( 6,0 pontos) Em cada item abaixo, dado o operador linear T sobre os \mathbb{R}-espaços vetoriais indicados, determine, caso existam, os autovalores (reais) e autovetores de T. Verifique se T é ou não diagonalizável, justificando sua resposta. Caso T seja diagonalizável, apresente uma base \alpha do espaço vetorial tal que a matriz de T nessa base seja diagonal e exiba a matriz [T]_{\alpha}^{\alpha}. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, tal que [T]=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\\\ 2 & 3 & 4 \\\\ -1 & -1 & -2\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado dá o operador linear T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
Pede-se encontrar os autovalores reais de T, os respetivos autovetores, verificar se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir uma base de autovetores onde a matriz seja diagonal, bem como essa matriz diagonal.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de A=[T]. Tem-se