Questão 3: ( 6,0 pontos) Em cada item abaixo, dado o operador linear T sobre os \mathbb{R}-espaços vetoriais indicados, determine, caso existam, os autovalores (reais) e autovetores de T. Verifique se T é ou não diagonalizável, justificando sua resposta. Caso T seja diagonalizável, apresente uma base \alpha do espaço vetorial tal que a matriz de T nessa base seja diagonal e exiba a matriz [T]_{\alpha}^{\alpha}.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, tal que [T]=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\\\ 2 & 3 & 4 \\\\ -1 & -1 & -2\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
[T] = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 2 & 3 & 4\\\\ -1 & -1 & -2 \end{pmatrix}.
Pede-se encontrar os autovalores reais de T, os respetivos autovetores, verificar se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir uma base de autovetores onde a matriz seja diagonal, bem como essa matriz diagonal.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A=[T]. Tem-se
\chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 1\\\\ 2 & 3-\lambda & 4\\\\ -1 & -1 & -2-\lambda \end{pmatrix}.
Desenvolvendo por Laplace ou por operações de linha, chega-se a
\chi_A(\lambda)= -(\lambda-3)(\lambda-1)(\lambda+1).
Portanto, os autovalores são
\lambda_1=3,\quad \lambda_2=1,\quad \lambda_3=-1,
todos reais e distintos.

Passo 3

Para cada autovalor [\lambda) resolvemos (A-\lambda I)v=0.
  1. \lambda=3:
A-3I=\begin{pmatrix}-1&1&1\\\ 2&0&4\\\ -1&-1&-5\end{pmatrix} \implies \begin{cases} -x+y+z=0,\\\\ 2x+4z=0, \end{cases}
de onde x=-2z\], \[y=-3z. Tomando z=1, um autovetor é
v_1 = (-2,\,-3,\,1).
  1. \lambda=1:
A-I=\begin{pmatrix}1&1&1\\\ 2&2&4\\\ -1&-1&-3\end{pmatrix} \implies \begin{cases} x+y+z=0,\\\ x+y+2z=0 \end{cases}
leva a z=0\], \[x=-y. Tomando y=1, um autovetor é
v_2 = (-1,\,1,\,0).
  1. \lambda=-1:
A+I=\begin{pmatrix}3&1&1\\\ 2&4&4\\\ -1&-1&-1\end{pmatrix} \implies \begin{cases} x+y+z=0,\\\\ 3x+y+z=0 \end{cases}
leva a x=0\], \(z=-y. Tomando y=1, um autovetor é
v_3 = (0,\,1,\,-1).
Os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes.

Passo 4

Como há três autovalores distintos em \mathbb{R}, concluímos que T é diagonalizável. Uma base de autovetores é
\alpha = \bigl\{\,v_1,\,v_2,\,v_3\bigr\} =\{\,(-2,-3,1),\,(-1,1,0),\,(0,1,-1)\}.
Na base \alpha, a matriz de T é diagonal com as entradas iguais aos autovalores na ordem dos vetores:

Resposta

Os autovalores são
3,\quad 1,\quad -1.
Autovetores correspondentes (cada um livre até escalar) são
v_1 = (-2,-3,1),\quad v_2 = (-1,1,0),\quad v_3 = (0,1,-1). T é diagonalizável e, na base
\alpha=\{v_1,v_2,v_3\},
tem-se
[T]_{\alpha}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

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