Questão 2 (1,4 pontos):

Seja A \in M_{2}(\mathbb{R}) tal que A\left[\begin{array}{l}29 \\\\ 57\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}174 \\\\ 342\end{array}\right] e A\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}-14 \\\\ -42\end{array}\right].
a) (0,4 pt) Dê exemplo de uma base do \mathbb{R}^{2} formada por autovetores de A, indicando os autovalores.
b) ( 0,4 \mathrm{pt} ) Dê exemplos de uma matriz inversível P que diagonaliza A e sua correspondente matriz diagonal D semelhante a A.
c) (0,6 pt) Determine A, usando o item anterior.

Passo 1

O enunciado diz que A\in M_{2}(\mathbb{R}) satisfaz
A\begin{pmatrix}29\\\ 57\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}174\\\ 342\end{pmatrix}, \quad A\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-14\\\ -42\end{pmatrix}.
Isso mostra que \begin{pmatrix}29\\\ 57\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} são autovetores de A com certos autovalores. O conteúdo usado será diagonalização de matrizes: achar autovalores, autovetores, montar P e D e então obter A=PDP^{-1}.

Passo 2

Note que
A\begin{pmatrix}29\\\ 57\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}174\\\ 342\end{pmatrix} =6\begin{pmatrix}29\\\ 57\end{pmatrix},
logo \lambda_{1}=6 é autovalor com autovetor v_{1}=(29,57)^{T}.
De modo parecido,
A\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-14\\\ -42\end{pmatrix} =-14\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix},
logo \lambda_{2}=-14 é autovalor com autovetor v_{2}=(1,3)^{T}.
Como v_{1} e v_{2} são lineares independentes, formam uma base de \mathbb{R}^{2}.

Passo 3

Montamos a matriz P cujas colunas são os autovetores e a matriz diagonal D com os autovalores na diagonal:
P=\begin{pmatrix}29 & 1\\[6pt]57 & 3\end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}6 & 0\\[3pt]0 & -14\end{pmatrix}.
Verificamos que \det P=29\cdot3-1\cdot57=30\neq0, então P é invertível e satisfaz
P^{-1}AP=D.]

Passo 4

Para encontrar A explicitamente, usamos
A=P\,D\,P^{-1}.
Como \det P=30,
P^{-1}=\frac{1}{30}\begin{pmatrix}3 & -1\\[3pt]-57 & 29\end{pmatrix}.
Calculando
P\,D=\begin{pmatrix}29&1\\\ 57&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}6&0\\\ 0&-14\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}174&-14\\\ 342&-42\end{pmatrix},
e em seguida
A =\frac{1}{30}\begin{pmatrix}174&-14\\\ 342&-42\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&-1\\\ -57&29\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}44 & -\tfrac{58}{3}\\[4pt]114 & -52\end{pmatrix}.]

Resposta

(a) Uma base de autovetores é
\bigl\{(29,57)^{T},\,(1,3)^{T}\bigr\}
com autovalores \lambda_{1}=6 e \lambda_{2}=-14.
(b) Pode-se usar
P=\begin{pmatrix}29 & 1\\\ 57 & 3\end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}6 & 0\\\ 0 & -14\end{pmatrix},
pois P^{-1}AP=D.
(c) A matriz A fica
A =\begin{pmatrix} 44 & -\tfrac{58}{3}\\[4pt] 114 & -52 \end{pmatrix}.]

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