Questão 1 (1,6 pontos): Seja A \in M_{3}(\mathbb{R}) com autoespaços
\begin{gathered} E\left(\lambda_{1}=-8\right)=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ;-117 x+468 y-39 z=0\right\} \\\ E\left(\lambda_{2}=23\right)=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x-6 y+21 z=0 \text { e } 7 x-41 y+156 z=0\right\} . \end{gathered}
a) ( 1,2 pts) Determine bases dos autoespaços e as multiplicidades geométricas dos autovalores de A.
b) (0,4 \mathrm{pt}) A é diagonalizável? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz A\in M_{3}(\mathbb{R}) cujos autoespaços são:
E(\lambda_{1}=-8)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3};\;-117x+468y-39z=0\},
E(\lambda_{2}=23)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3};\;x-6y+21z=0,\;7x-41y+156z=0\}.
Pede-se em (a) as bases desses autoespaços e as multiplicidades geométricas dos autovalores e em (b) verificar se A é diagonalizável. Vamos resolver encontrando as bases por redução de sistemas lineares e depois comparar a soma das dimensões dos autoespaços ao tamanho da matriz.

Passo 2

Para \lambda_{1}=-8 resolvemos
-117x+468y-39z=0.
Dividindo por 39 fica
-3x+12y-z=0\quad\Longrightarrow\quad z=-3x+12y.
Logo temos dois parâmetros livres x e y. Tomando x=1,y=0 e x=0,y=1, obtemos vetores
v_{1}=(1,0,-3),\quad v_{2}=(0,1,12).
Assim uma base de E(-8) é \{\,v_{1},v_{2}\} e a multiplicidade geométrica de \lambda_{1} é
\dim E(-8)=2.

Passo 3

Para \lambda_{2}=23\) resolvemos o sistema \[\begin{cases} x-6y+21z=0,\\\\ 7x-41y+156z=0. \end{cases}
Multiplicando a primeira equação por 7\] e subtraindo a segunda, obtemos \[- y -9z=0\quad\Longrightarrow\quad y=-9z.\] Substituindo em \(x-6(-9z)+21z=0
x+54z+21z=0\quad\Longrightarrow\quad x=-75z.
Escolhendo z=1 temos o vetor
v=( -75,\,-9,\,1).
Logo uma base de E(23) é \{\,v\} e a multiplicidade geométrica de \lambda_{2} é
\dim E(23)=1.

Passo 4

Uma matriz de ordem 3 é diagonalizável se, e somente se, a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores for 3. Aqui
\dim E(-8)+\dim E(23)=2+1=3,
ou seja, coincide com a dimensão do espaço. Portanto, A é diagonalizável.

Resposta

a) Base de E(-8): \{(1,0,-3),\,(0,1,12)\}, multiplicidade geométrica 2.
Base de E(23): \{(-75,-9,1)\}, multiplicidade geométrica 1.
b) Sim, A é diagonalizável, pois a soma das multiplicidades geométricas é 3, igual à ordem da matriz.

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