Questão 1 (1,6 pontos): Seja
com autoespaços
a) ( 1,2 pts) Determine bases dos autoespaços e as multiplicidades geométricas dos autovalores de
.
b)
é diagonalizável? Justifique a sua resposta.
b)
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz
cujos autoespaços são:
Pede-se em (a) as bases desses autoespaços e as multiplicidades geométricas dos autovalores e em (b) verificar se
é diagonalizável. Vamos resolver encontrando as bases por redução de sistemas lineares e depois comparar a soma das dimensões dos autoespaços ao tamanho da matriz.
Passo 2
Para
resolvemos
Dividindo por
fica
Logo temos dois parâmetros livres
e
. Tomando
e
, obtemos vetores
Assim uma base de
é
e a multiplicidade geométrica de
é
Passo 3
Para
Multiplicando a primeira equação por
dá
Escolhendo
temos o vetor
Logo uma base de
é
e a multiplicidade geométrica de
é
Passo 4
Uma matriz de ordem
é diagonalizável se, e somente se, a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores for
. Aqui
ou seja, coincide com a dimensão do espaço. Portanto,
é diagonalizável.
Resposta
a) Base de
:
, multiplicidade geométrica
.
Base de :
, multiplicidade geométrica
.
b) Sim, é diagonalizável, pois a soma das multiplicidades geométricas é
, igual à ordem da matriz.
Base de
b) Sim,