Resolva as equações abaixo encontrando um fator integrante
y+\left(2 x y+e^{-2 y}\right) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y+\left(2 x y+e^{-2 y}\right)\frac{d y}{d x}=0
e pede que você resolva encontrando um fator integrante.
Informações dadas que vamos usar: ao escrever a equação na forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 temos
M(x,y)=y,\qquad N(x,y)=2xy+e^{-2y}.
O objetivo: achar um fator integrante (possivelmente função só de y ou só de x) que torne a equação exata, e então resolver a equação (encontrar a solução geral).

Passo 2

Primeiro verificamos se a equação já é exata. Para isso calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y)=1,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2xy+e^{-2y})=2y.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=1\neq 2y=\frac{\partial N}{\partial x}, a equação não é exata. Precisamos de um fator integrante.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que seja função só de y, isto é \mu=\mu(y). A condição prática para existência de \mu(y) é que
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}
seja função apenas de y. Calculamos essa expressão:
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}=\frac{2y-1}{y}=2-\frac{1}{y},
que de fato depende apenas de y. Portanto existe um fator integrante \mu(y) dado por
\mu(y)=\exp\left(\int\left(2-\frac{1}{y}\right)\,dy\right).

Passo 4

Calculamos a integral explicitamente:
\int\left(2-\frac{1}{y}\right)\,dy=2y-\ln|y|.
Assim
\mu(y)=\exp\left(2y-\ln|y|\right)=\frac{e^{2y}}{|y|}.
Podemos, para trabalhar em um ramo onde y\neq 0, escolher
\mu(y)=\frac{e^{2y}}{y},
observando que o sinal absoluto só impõe y\neq 0 e muda a constante multiplicativa que depois se absorve na constante da solução.

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(y)=\dfrac{e^{2y}}{y}. A equação torna-se
\left(y\cdot\frac{e^{2y}}{y}\right)dx+\left((2xy+e^{-2y})\cdot\frac{e^{2y}}{y}\right)dy=0,
ou seja
e^{2y}\,dx+\left(2x e^{2y}+\frac{1}{y}\right)dy=0.
Chamando \widetilde{M}(x,y)=e^{2y} e \widetilde{N}(x,y)=2x e^{2y}+\dfrac{1}{y}, verificamos a exatidão:
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=2e^{2y},\qquad \frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}=2e^{2y},
portanto a equação é agora exata.

Passo 6

Como é exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\widetilde{M}(x,y)=e^{2y}.
Integramos essa expressão em relação a x (tratando y como constante):
\Phi(x,y)=\int e^{2y}\,dx = x e^{2y}+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 7

Agora impomos que \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=\widetilde{N}(x,y). Calculamos
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=2x e^{2y}+h'(y).
Igualando a \widetilde{N} obtemos
2x e^{2y}+h'(y)=2x e^{2y}+\frac{1}{y},
logo
h'(y)=\frac{1}{y}.
Integrando em y obtemos
h(y)=\ln|y|+C_1.
Podemos incorporar C_1 na constante final da solução. Assim a função potencial é
\Phi(x,y)=x e^{2y}+\ln|y|.

Passo 8

A solução geral implícita da equação é dada por
\Phi(x,y)=C,
ou seja
x e^{2y}+\ln|y|=C,
com y\neq 0 (porque usamos \mu(y)=\dfrac{e^{2y}}{y} e \ln|y|). Você pode verificar diferenciando implicitamente que essa expressão recupera a equação inicial.

Resposta

\mu(y)=\dfrac{e^{2y}}{y}
x e^{2y}+\ln|y|=C

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