Resolva as equações abaixo encontrando um fator integrante
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que você resolva encontrando um fator integrante.
Informações dadas que vamos usar: ao escrever a equação na forma diferencial temos
Informações dadas que vamos usar: ao escrever a equação na forma diferencial
O objetivo: achar um fator integrante (possivelmente função só de
ou só de
) que torne a equação exata, e então resolver a equação (encontrar a solução geral).
Passo 2
Primeiro verificamos se a equação já é exata. Para isso calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata. Precisamos de um fator integrante.
Passo 3
Procuramos um fator integrante que seja função só de
, isto é
. A condição prática para existência de
é que
seja função apenas de
. Calculamos essa expressão:
que de fato depende apenas de
. Portanto existe um fator integrante
dado por
Passo 4
Calculamos a integral explicitamente:
Assim
Podemos, para trabalhar em um ramo onde
, escolher
observando que o sinal absoluto só impõe
e muda a constante multiplicativa que depois se absorve na constante da solução.
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
. A equação torna-se
ou seja
Chamando
e
, verificamos a exatidão:
portanto a equação é agora exata.
Passo 6
Como é exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos essa expressão em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma função a determinar.
Passo 7
Agora impomos que
. Calculamos
Igualando a
obtemos
logo
Integrando em
obtemos
Podemos incorporar
na constante final da solução. Assim a função potencial é
Passo 8
A solução geral implícita da equação é dada por
ou seja
com
(porque usamos
e
). Você pode verificar diferenciando implicitamente que essa expressão recupera a equação inicial.