Questão 1 (2 pontos) Para cada número natural n \geq 1, considere uma partição do intervalo 1,2 :
1=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{i-1}<x_{i}<\cdots<x_{n}=2,
com \Delta x=x_{i}-x_{i-1}=\frac{1}{n}. Para cada item abaixo, decida se o somatório S_{R}(n) é uma soma de Riemann. Em caso afirmativo, expresse o limite \lim _{n \rightarrow \infty} S_{R}(n) em termos de uma integral (não precisa calcular a integral):
(d) S_{R}(n)=\sum_{i=1}^{n} \ln \left(x_{i}\right) \Delta x

Passo 1

O enunciado nos dá, para cada n\ge1, uma partição regular de [1,2] com \Delta x=(x_i-x_{i-1})=\tfrac1n, e define
S_{R}(n)=\sum_{i=1}^{n}\ln\bigl(x_{i}\bigr)\,\Delta x.
O conteúdo aqui é o conceito de soma de Riemann para aproximar a integral de uma função em um intervalo.

Passo 2

Vamos identificar a função e os pontos de amostragem. Note que
S_{R}(n)=\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\,\Delta x
com
f(x)=\ln(x), \quad \Delta x=\frac1n,
e que x_i é o ponto da extremidade direita de cada subintervalo [x_{i-1},x_i].

Passo 3

Pela definição de soma de Riemann usando pontos direitos, sabemos que, se f for contínua em [1,2], então
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\,\Delta x = \int_{1}^{2}f(x)\,dx.
Como \ln(x) é contínua em [1,2], concluímos que S_{R}(n) é de fato uma soma de Riemann que converge para a integral de \ln(x) nesse intervalo.

Resposta

\lim_{n\to\infty}S_{R}(n) =\int_{1}^{2}\ln(x)\,dx.

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