Mostre se a sequência converge ou diverge. Se ela for convergente, mostre para que valor.
\left\{(-1)^{n+1}\left(\frac{2 n}{3 n+1}\right)\right\}_{n=1}^{\infty}

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujo termo geral é
a_{n}=(-1)^{n+1}\,\frac{2n}{3n+1}
e pergunta se ela converge ou diverge. Vamos usar conceitos de limites de sequência e de subsequências para responder.

Passo 2

Primeiro, analisamos o comportamento do quociente \frac{2n}{3n+1} quando n\to\infty. Como os termos de maior grau no numerador e denominador são 2n e 3n, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{3n+1} =\frac{2}{3}.

Passo 3

Em seguida, observamos o fator oscilante (-1)^{n+1}, que vale +1 para n ímpar e -1 para n par. Portanto, as duas subsequências principais têm limites diferentes:
para n=2k-1 (ímpar),
a_{2k-1} =(-1)^{2k}\,\frac{2(2k-1)}{3(2k-1)+1} \;\longrightarrow\;+\frac{2}{3},
para n=2k (par),
a_{2k} =(-1)^{2k+1}\,\frac{2\cdot2k}{3\cdot2k+1} \;\longrightarrow\;-\frac{2}{3}.

Passo 4

Como as subsequências ímpar e par convergem para limites distintos ( +\tfrac{2}{3} e -\tfrac{2}{3}), a sequência completa não pode ter um único limite. Logo, ela não converge.

Resposta

A sequência diverge.

Exercícios relacionados