Mostre se a sequência converge ou diverge. Se ela for convergente, mostre para que valor.
\left\{\left(\frac{2 n}{3 n+1}\right)\right\}_{n=1}^{\infty}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
a_{n} = \frac{2\,n}{3\,n + 1}
e verificar se ela converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é o cálculo de limite de sequências racionais de polinômios de mesmo grau: quando o grau do numerador é igual ao grau do denominador, o limite é a razão dos coeficientes principais.

Passo 2

Para facilitar o limite, fatoramos n em cima e embaixo:
a_{n} = \frac{2\,n}{3\,n + 1} = \frac{n \cdot 2}{n\cdot\bigl(3 + \tfrac{1}{n}\bigr)} = \frac{2}{3 + \tfrac{1}{n}}.

Passo 3

Agora aplicamos o limite quando n\to\infty. Sabemos que
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0,
então
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{3 + \tfrac{1}{n}} = \frac{2}{3 + 0} = \frac{2}{3}.

Passo 4

Como o limite existe e é finito, concluímos que a sequência converge. O valor de convergência é \tfrac{2}{3}.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty} \frac{2\,n}{3\,n + 1} = \frac{2}{3}.

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