Questão 1: (1,2 pontos cada) Resolva as equações diferenciais a seguir:
x y^{\prime}+2 x^{2}=2 x^{4}, y(0)=1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
  • Equação: x\,y'(x)+2x^{2}=2x^{4}.
  • Condição inicial: y(0)=1.
O que é pedido: resolver a equação diferencial e obter a solução y(x) que satisfaça a condição y(0)=1.

Passo 2

Observação sobre a equação: ela é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Note que o coeficiente do termo y' é x. Isso significa que, para manipular a equação por divisão por x, devemos tomar cuidado em x=0. Então primeiro resolvemos para x\neq0 e depois verificamos se a solução pode ser estendida em x=0 compativelmente com a condição inicial.

Passo 3

Para x\neq0 podemos dividir ambos os lados por x. Fazendo isso obtemos uma forma explícita para y':
y' = \frac{2x^{4}-2x^{2}}{x} = 2x^{3}-2x = 2x(x^{2}-1).
Explanação didática: aqui usamos regras básicas de álgebra fracionária: \dfrac{x^{4}}{x}=x^{3} e \dfrac{x^{2}}{x}=x. O objetivo é isolar y' para poder integrar em relação a x.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x para obter y(x). Lembre-se da regra básica de integração: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Integramos y' = 2x^{3}-2x:
y(x)=\int (2x^{3}-2x)\,dx = 2\int x^{3}\,dx - 2\int x\,dx.
Calculando cada integral:
2\int x^{3}\,dx = 2\cdot\frac{x^{4}}{4}=\frac{1}{2}x^{4}, \qquad 2\int x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2}.
Portanto a solução geral para x\neq0 é
y(x)=\frac{1}{2}x^{4}-x^{2}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Aplicar a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 na expressão geral obtemos
y(0)=\frac{1}{2}\cdot 0^{4}-0^{2}+C = C.
Como y(0)=1, segue C=1. Assim a solução particular é
y(x)=\frac{1}{2}x^{4}-x^{2}+1.

Passo 6

Verificação e discussão sobre x=0. Primeiro calculemos y'(x) a partir da solução encontrada:
y'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}x^{4}-x^{2}+1\right)=2x^{3}-2x=2x(x^{2}-1).
Substituindo na equação original:
x\,y'(x)+2x^{2}=x\big(2x^{3}-2x\big)+2x^{2}=2x^{4}-2x^{2}+2x^{2}=2x^{4},
o que coincide com o lado direito da equação original para todo x. Em x=0 a equação original é 0\cdot y'(0)+0=0, ou seja, é satisfeita identicamente (não impõe restrição sobre y'(0)). A nossa solução é diferenciável em x=0 e satisfaz y(0)=1, logo é uma extensão válida que resolve o problema no intervalo que inclui 0.

Passo 7

Comentário final didático: a técnica usada aqui foi isolar y' para integrar (integração direta). É importante sempre checar pontos singulares onde se divide por um fator que pode ser zero (aqui x=0). Nesses pontos é preciso verificar se a solução obtida para x\neq0 pode ser estendida e se satisfaz a condição inicial — o que fizemos. Força aí: o procedimento é bem direto na prova — isolar, integrar, aplicar condição inicial e checar singularidades.

Resposta

y(x)=\frac{1}{2}x^{4}-x^{2}+1

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