Questão 1: (1,2 pontos cada) Resolva as equações diferenciais a seguir:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
- Equação:
. - Condição inicial:
.
O que é pedido: resolver a equação diferencial e obter a solução
que satisfaça a condição
.
Passo 2
Observação sobre a equação: ela é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Note que o coeficiente do termo
é
. Isso significa que, para manipular a equação por divisão por
, devemos tomar cuidado em
. Então primeiro resolvemos para
e depois verificamos se a solução pode ser estendida em
compativelmente com a condição inicial.
Passo 3
Para
podemos dividir ambos os lados por
. Fazendo isso obtemos uma forma explícita para
:
Explanação didática: aqui usamos regras básicas de álgebra fracionária:
e
. O objetivo é isolar
para poder integrar em relação a
.
Passo 4
Agora integramos ambos os lados em relação a
para obter
. Lembre-se da regra básica de integração: para
,
Integramos
:
Calculando cada integral:
Portanto a solução geral para
é
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Aplicar a condição inicial
. Substituindo
na expressão geral obtemos
Como
, segue
. Assim a solução particular é
Passo 6
Verificação e discussão sobre
. Primeiro calculemos
a partir da solução encontrada:
Substituindo na equação original:
o que coincide com o lado direito da equação original para todo
. Em
a equação original é
, ou seja, é satisfeita identicamente (não impõe restrição sobre
). A nossa solução é diferenciável em
e satisfaz
, logo é uma extensão válida que resolve o problema no intervalo que inclui
.
Passo 7
Comentário final didático: a técnica usada aqui foi isolar
para integrar (integração direta). É importante sempre checar pontos singulares onde se divide por um fator que pode ser zero (aqui
). Nesses pontos é preciso verificar se a solução obtida para
pode ser estendida e se satisfaz a condição inicial — o que fizemos. Força aí: o procedimento é bem direto na prova — isolar, integrar, aplicar condição inicial e checar singularidades.