(3,0) Calcule as seguintes integrais duplas:
\int_{-a}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a^{2}-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3 / 2} d x d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\int_{-a}^{a}\int_{0}^{\sqrt{a^{2}-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}\,dx\,dy.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A variável de integração interna é x com 0\le x\le\sqrt{a^{2}-y^{2}}.
  • A variável externa é y com -a\le y\le a.
  • O parâmetro a aparece no limite superior da raiz; para a integral representar a região indicada, assumimos a>0.
  • A região de integração é o conjunto dos pontos (x,y) tais que x\ge 0 e x^{2}+y^{2}\le a^{2} (ou seja, o semi-disco de raio a à direita do eixo y).

Passo 2

Entender a região de integração é crucial. A condição 0\le x\le\sqrt{a^{2}-y^{2}} significa exatamente que
x^{2}+y^{2}\le a^{2}\quad\text{e}\quad x\ge 0.
Portanto a região é o semi-círculo de raio a com x\ge 0. Quando a região é circular (ou parte de um círculo) é muito conveniente usar coordenadas polares porque elas parametrizam círculos de forma simples.

Passo 3

Apresentando coordenadas polares e a regra de mudança de variável:
  • Em coordenadas polares usamos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • O elemento de área se transforma assim:
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Explicando de modo simples: ao passar para coordenadas polares cada pequeno retângulo dx\,dy vira um elemento com comprimento radial dr e comprimento angular aproximadamente r\,d\theta, daí o fator r.

Passo 4

Transformar o integrando e escolher limites em polares.
  • O integrando é \left(x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}. Em polares x^{2}+y^{2}=r^{2}, logo
\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3/2} = \left(r^{2}\right)^{3/2} = r^{3}.
  • Multiplicando pelo Jacobiano r obtemos o integrando em r,\theta:
\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}\,dx\,dy = r^{3}\cdot r\,dr\,d\theta = r^{4}\,dr\,d\theta.
  • Agora os limites: como x\ge 0 isso significa \cos\theta\ge 0, ou seja \theta varia de -\tfrac{\pi}{2} até \tfrac{\pi}{2}. Como estamos ocupando todo o semi-disco do centro até a borda, r varia de 0 até a.
  • Portanto a integral passa a ser
\int_{-{\pi}/{2}}^{{\pi}/{2}}\int_{0}^{a} r^{4}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral separando as variáveis (é um produto de uma função só de r por uma só de \theta).
  • Integral em r:
\int_{0}^{a} r^{4}\,dr = \left.\frac{r^{5}}{5}\right|_{0}^{a} = \frac{a^{5}}{5}.
Expliquei: a primitiva de r^{4} é r^{5}/5.
  • Integral em \theta:
\int_{-{\pi}/{2}}^{{\pi}/{2}} d\theta = \left.\theta\right|_{-{\pi}/{2}}^{{\pi}/{2}} = \pi.
  • Multiplicando os dois resultados:
\left(\frac{a^{5}}{5}\right)\cdot \pi = \frac{\pi a^{5}}{5}.

Passo 6

Verificação rápida de consistência: para a>0 o resultado é positivo e tem dimensão de a^{5}, condizente com integrar uma função homogênea de grau 3 sobre uma área (o resultado escalona como a^{5}). Tudo bate.

Resposta

\dfrac{\pi a^{5}}{5}

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