A variável de integração interna é x com 0\le x\le\sqrt{a^{2}-y^{2}}.
A variável externa é y com -a\le y\le a.
O parâmetro a aparece no limite superior da raiz; para a integral representar a região indicada, assumimos a>0.
A região de integração é o conjunto dos pontos (x,y) tais que x\ge 0 e x^{2}+y^{2}\le a^{2} (ou seja, o semi-disco de raio a à direita do eixo y).
Passo 2
Entender a região de integração é crucial. A condição 0\le x\le\sqrt{a^{2}-y^{2}} significa exatamente que
x^{2}+y^{2}\le a^{2}\quad\text{e}\quad x\ge 0.
Portanto a região é o semi-círculo de raio a com x\ge 0. Quando a região é circular (ou parte de um círculo) é muito conveniente usar coordenadas polares porque elas parametrizam círculos de forma simples.
Passo 3
Apresentando coordenadas polares e a regra de mudança de variável:
Em coordenadas polares usamos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
O elemento de área se transforma assim:
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Explicando de modo simples: ao passar para coordenadas polares cada pequeno retângulo dx\,dy vira um elemento com comprimento radial dr e comprimento angular aproximadamente r\,d\theta, daí o fator r.
Passo 4
Transformar o integrando e escolher limites em polares.
O integrando é \left(x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}. Em polares x^{2}+y^{2}=r^{2}, logo
Agora os limites: como x\ge 0 isso significa \cos\theta\ge 0, ou seja \theta varia de -\tfrac{\pi}{2} até \tfrac{\pi}{2}. Como estamos ocupando todo o semi-disco do centro até a borda, r varia de 0 até a.
Verificação rápida de consistência: para a>0 o resultado é positivo e tem dimensão de a^{5}, condizente com integrar uma função homogênea de grau 3 sobre uma área (o resultado escalona como a^{5}). Tudo bate.