(3,0) Obtenha a matriz Jacobiana de transformação e demonstre o respectivo elemento infinitesimal de volume em coordenadas:
coordenadas esféricas d V=r^{2} \operatorname{sen} \theta d r d \theta d \varphi
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
Pedido 1: obter a matriz Jacobiana da transformação das coordenadas esféricas para cartesianas.
Pedido 2: demonstrar o elemento infinitesimal de volume em coordenadas esféricas, isto é, mostrar que dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Informações dadas (convenção usada, explicitada porque influencia os sinais):
\begin{aligned} &\text{Variáveis esféricas: } r\ge 0,\quad \theta\in[0,\pi]\\ \text{(colatitude, ângulo a partir do eixo \(z\))},\quad \varphi\in[0,2\pi)\ \text{(azimute)}.\\ &\text{Transformação para cartesianas:}\\ &\qquad x = r\sin\theta\cos\varphi,\\ &\qquad y = r\sin\theta\sin\varphi,\\ &\qquad z = r\cos\theta. \end{aligned}
Passo 2
O que é a matriz Jacobiana e por que ela aparece no elemento de volume.
Definição prática: a matriz Jacobiana da transformação (r,\theta,\varphi)\mapsto(x,y,z) é a matriz das derivadas parciais \dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}. Ela descreve como pequenos incrementos em (r,\theta,\varphi) se transformam em incrementos em (x,y,z).
Fórmula fundamental que usaremos: o elemento de volume em coordenadas cartesianas |dV| relacionado com coordenadas (u_1,u_2,u_3) é
dV = \left|\det\!\left(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u_1,u_2,u_3)}\right)\right| du_1\,du_2\,du_3.
Aqui usaremos (u_1,u_2,u_3)=(r,\theta,\varphi).
Outra interpretação útil (geométrica): construir os vetores \partial\mathbf{r}/\partial r, \partial\mathbf{r}/\partial\theta, \partial\mathbf{r}/\partial\varphi no espaço cartesiano; o volume do paralelepípedo formado por esses vetores é o produto escalar \partial\mathbf{r}/\partial r\cdot\big(\partial\mathbf{r}/\partial\theta\times\partial\mathbf{r}/\partial\varphi\big), que é exatamente o determinante da Jacobiana.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (cada entrada da Jacobiana).
Primeiro escrevo o vetor posição em cartesianas como função de (r,\theta,\varphi):
dV = \left|\det J\right|\,dr\,d\theta\,d\varphi = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi,
onde \det J\ge 0 para r\ge0 e \theta\in[0,\pi], então o valor absoluto não altera o sinal neste domínio padrão.
Passo 6
Resumo prático e dica para a prova.
Resultado chave para memorizar: o fator de escala entre dr\,d\theta\,d\varphi e o volume cartesiano é r^{2}\sin\theta.
Interpretação rápida: r^{2} vem do alongamento radial + área de esfera (água de r^2) e \sin\theta corrige a projeção do anel de ângulo \theta.
Dica: uma maneira rápida de lembrar é pensar no paralelogramo formado por deslocamentos em r, \theta e \varphi: as componentes angulares trazem fatores r e r\sin\theta.