(3,0) Obtenha a matriz Jacobiana de transformação e demonstre o respectivo elemento infinitesimal de volume em coordenadas:
coordenadas esféricas d V=r^{2} \operatorname{sen} \theta d r d \theta d \varphi

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pedido 1: obter a matriz Jacobiana da transformação das coordenadas esféricas para cartesianas.
  • Pedido 2: demonstrar o elemento infinitesimal de volume em coordenadas esféricas, isto é, mostrar que dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Informações dadas (convenção usada, explicitada porque influencia os sinais):
\begin{aligned} &\text{Variáveis esféricas: } r\ge 0,\quad \theta\in[0,\pi]\\ \text{(colatitude, ângulo a partir do eixo \(z\))},\quad \varphi\in[0,2\pi)\ \text{(azimute)}.\\ &\text{Transformação para cartesianas:}\\ &\qquad x = r\sin\theta\cos\varphi,\\ &\qquad y = r\sin\theta\sin\varphi,\\ &\qquad z = r\cos\theta. \end{aligned}áéâçã

Passo 2

O que é a matriz Jacobiana e por que ela aparece no elemento de volume.
  • Definição prática: a matriz Jacobiana da transformação (r,\theta,\varphi)\mapsto(x,y,z) é a matriz das derivadas parciais \dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}. Ela descreve como pequenos incrementos em (r,\theta,\varphi) se transformam em incrementos em (x,y,z).
  • Fórmula fundamental que usaremos: o elemento de volume em coordenadas cartesianas |dV| relacionado com coordenadas (u_1,u_2,u_3) é
dV = \left|\det\!\left(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u_1,u_2,u_3)}\right)\right| du_1\,du_2\,du_3.
Aqui usaremos (u_1,u_2,u_3)=(r,\theta,\varphi).
  • Outra interpretação útil (geométrica): construir os vetores \partial\mathbf{r}/\partial r, \partial\mathbf{r}/\partial\theta, \partial\mathbf{r}/\partial\varphi no espaço cartesiano; o volume do paralelepípedo formado por esses vetores é o produto escalar \partial\mathbf{r}/\partial r\cdot\big(\partial\mathbf{r}/\partial\theta\times\partial\mathbf{r}/\partial\varphi\big), que é exatamente o determinante da Jacobiana.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (cada entrada da Jacobiana).
Primeiro escrevo o vetor posição em cartesianas como função de (r,\theta,\varphi):
\mathbf{r}(r,\theta,\varphi)=\big(x(r,\theta,\varphi),\,y(r,\theta,\varphi),\,z(r,\theta,\varphi)\big) = \big(r\sin\theta\cos\varphi,\; r\sin\theta\sin\varphi,\; r\cos\theta\big).
Agora as derivadas parciais (aplico regras de derivação produto/ cadeia; mostro cada componente):
  • Derivadas em relação a r:
\frac{\partial x}{\partial r}=\sin\theta\cos\varphi,\qquad \frac{\partial y}{\partial r}=\sin\theta\sin\varphi,\qquad \frac{\partial z}{\partial r}=\cos\theta.
  • Derivadas em relação a \theta:
\frac{\partial x}{\partial\theta}=r\cos\theta\cos\varphi,\qquad \frac{\partial y}{\partial\theta}=r\cos\theta\sin\varphi,\qquad \frac{\partial z}{\partial\theta}=-r\sin\theta.
  • Derivadas em relação a \varphi:
\frac{\partial x}{\partial\varphi}=-r\sin\theta\sin\varphi,\qquad \frac{\partial y}{\partial\varphi}=r\sin\theta\cos\varphi,\qquad \frac{\partial z}{\partial\varphi}=0.

Passo 4

Escrever a matriz Jacobiana com as entradas calculadas.
J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)} = \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi & r\cos\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi\\[6pt] \sin\theta\sin\varphi & r\cos\theta\sin\varphi & \;\;r\sin\theta\cos\varphi\\[6pt] \cos\theta & -r\sin\theta & \;\;0 \end{pmatrix}.
Esta é a matriz Jacobiana pedida (cada coluna corresponde às derivadas do vetor posição em relação a r, \theta, \varphi, respectivamente).]

Passo 5

Calcular o determinante da Jacobiana e obter o elemento de volume.
Método geométrico (mais elegante): chamo os vetores coluna de J por
\mathbf{a}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial r}=(\sin\theta\cos\varphi,\;\sin\theta\sin\varphi,\;\cos\theta),
\mathbf{b}=\frac{1}{r}\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta}=(\cos\theta\cos\varphi,\;\cos\theta\sin\varphi,\; -\sin\theta),
\mathbf{c}=\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\varphi}=(-\sin\varphi,\;\cos\varphi,\;0).
Observações úteis:
  • As colunas originais são \partial\mathbf{r}/\partial r=\mathbf{a}, \partial\mathbf{r}/\partial\theta = r\,\mathbf{b}, \partial\mathbf{r}/\partial\varphi = r\sin\theta\,\mathbf{c}.
  • Assim o determinante de J fatoriza como
\det J = r\cdot (r\sin\theta)\; \det\big(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\big) = r^{2}\sin\theta\; \big(\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\big).
Agora calculo \mathbf{b}\times\mathbf{c} explicitamente (mostrando os passos):
\mathbf{b}\times\mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \cos\theta\cos\varphi & \cos\theta\sin\varphi & -\sin\theta \\\\ -\sin\varphi & \cos\varphi & 0 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo:
\mathbf{b}\times\mathbf{c} = \big(\sin\theta\cos\varphi,\;\sin\theta\sin\varphi,\;\cos\theta\big).
Repare que este resultado é exatamente \mathbf{a}. Portanto
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}=|\mathbf{a}|^{2}=1,
pois |\mathbf{a}|^{2}=\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\theta\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\theta=\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1.
Logo
\det J = r^{2}\sin\theta\cdot 1 = r^{2}\sin\theta.
Portanto o elemento de volume é
dV = \left|\det J\right|\,dr\,d\theta\,d\varphi = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi,
onde \det J\ge 0 para r\ge0 e \theta\in[0,\pi], então o valor absoluto não altera o sinal neste domínio padrão.

Passo 6

Resumo prático e dica para a prova.
  • Resultado chave para memorizar: o fator de escala entre dr\,d\theta\,d\varphi e o volume cartesiano é r^{2}\sin\theta.
  • Interpretação rápida: r^{2} vem do alongamento radial + área de esfera (água de r^2) e \sin\theta corrige a projeção do anel de ângulo \theta.
  • Dica: uma maneira rápida de lembrar é pensar no paralelogramo formado por deslocamentos em r, \theta e \varphi: as componentes angulares trazem fatores r e r\sin\theta.

Resposta

\displaystyle J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)} = \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi & r\cos\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi\\[6pt] \sin\theta\sin\varphi & r\cos\theta\sin\varphi & \;\;r\sin\theta\cos\varphi\\[6pt] \cos\theta & -r\sin\theta & \;\;0 \end{pmatrix}
\displaystyle dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi]

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