Questão 3 (1,5 pontos)
Uma caixa com 2 kg de massa desliza sobre uma superfície horizontal plana, com velocidade v=v(t), quando é aplicada uma força horizontal de 10 Newton, descrevendo um movimento retilíneo. Supondo que a força de resistência do ar sobre a caixa seja -v e que a força de atrito seja -5 v, determine a equação que a velocidade da caixa satisfaz. Resolva esta EDO, sabendo que inicialmente a caixa esta em repouso.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa 2,kg que se move em linha reta sob ação de uma força motriz de 10,N, de uma resistência do ar igual a -v e de um atrito igual a -5v. Vamos usar a Segunda Lei de Newton para montar uma EDO de primeira ordem em v(t) e em seguida resolver essa EDO com a condição inicial v(0)=0.

Passo 2

Pela Segunda Lei de Newton, a soma das forças é igual a m,dv/dt. Somando as forças horizontais temos
2,dvdt ;=; 10 ;+;(-v);+;(-5v) ;;Longrightarrow;; 2,dvdt = 10 - 6v

Passo 3

Dividindo por 2 e colocando na forma padrão de uma EDO linear de coeficientes constantes, obtemos
dvdt + 3v = 5

Passo 4

Para resolver
dvdt + 3v = 5,
usamos fator integrante mu(t)=e^integral 3,dt=e^3t. Multiplicando ambos os lados por e^3t e reconhecendo derivada de produto:
ddtl(e^3tvr) = 5,e^3t ;longrightarrow; e^3tv = integral 5,e^3t,dt = tfrac53e^3t + C
Logo
v(t) = 53 + C,e^-3t
Impondo v(0)=0
0 = 53 + C ;Longrightarrow; C = -53,
e então
v(t) = 53l(1 - e^-3tr)

Resposta

A equação diferencial que governa a velocidade é
dvdt + 3v = 5
e a solução com v(0)=0 é
v(t) = 53l(1 - e^-3tr)

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