Calcule:
& (a) integral(x^5 cdot raiz[3]x^3+1) d x
\int\left(x^{5} \cdot \sqrt[3]{x^{3}+1}\right) d x ;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integral x^5,raiz[3]x^3+1,dx
Este tipo de integral sugere usar a técnica de substituição, pois dentro da raiz cúbica aparece x^3+1 e fora temos um fator em x^5,dx.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^3 + 1
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du = 3x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = du3
Reescrevendo x^5,dx = x^3,x^2,dx = (u-1),du3. A integral fica
integral x^5,raiz[3]x^3+1,dx = integral (u-1),u^1/3,du3 = 13integrall(u^4/3-u^1/3r),du

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência integral u^a,du = u^a+1a+1:
13integrall(u^4/3-u^1/3r),du = 13l(u^7/37/3-u^4/34/3r)+C = 13l(37u^7/3-34u^4/3r)+C
Simplificando:
13cdot37u^7/3 = 17u^7/3, 13cdot34u^4/3 = 14u^4/3

Passo 4

Voltando à variável x com u=x^3+1, obtemos
integral x^5,raiz[3]x^3+1,dx = 17,(x^3+1)^7/3 - 14,(x^3+1)^4/3 + C

Resposta

17,(x^3+1)^7/3 - 14,(x^3+1)^4/3 + C

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