Considere a função
, onde
é uma constante.
Faz-se necessário impor alguma condição sobre a constante
para que
admita uma inversa? Qual é essa inversa?
Passo 1
O enunciado nos dá a função
com
constante. Queremos saber que condição sobre
garante que
tenha inversa e, em seguida, encontrar essa inversa. O conteúdo envolvido é a noção de bijetividade (injeção e sobrejeção) e a construção da função inversa.
Passo 2
Para
ser invertível ela precisa ser injetiva. Se
então
para todo
, ou seja, é constante e não injetiva. Se
, suponha
Logo, para
temos injeção.
Passo 3
Ainda para
, o domínio natural de
é
e o valor de
também nunca é zero, de modo que a imagem de
é
. Assim,
é sobrejetiva de
sobre
.
Passo 4
Para achar a inversa, escrevemos
e resolvemos para
:
Trocando
por
no resultado, obtemos a função inversa.
Resposta
A condição é
.
A inversa é
A inversa é