Considere a função f(x)=kx, onde k é uma constante.
Faz-se necessário impor alguma condição sobre a constante k para que f admita uma inversa? Qual é essa inversa?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
fcolon Rsetminus0 to R, f(x)=kx,
com k constante. Queremos saber que condição sobre k garante que f tenha inversa e, em seguida, encontrar essa inversa. O conteúdo envolvido é a noção de bijetividade (injeção e sobrejeção) e a construção da função inversa.

Passo 2

Para f ser invertível ela precisa ser injetiva. Se k=0 então f(x)=0 para todo x, ou seja, é constante e não injetiva. Se kneq 0, suponha
f(x1)=f(x2) Longrightarrow kx1=kx2 Longrightarrow 1x1=1x2 Longrightarrow x1=x2
Logo, para kneq 0 temos injeção.

Passo 3

Ainda para kneq 0, o domínio natural de f é Rsetminus0 e o valor de f(x)=k/x também nunca é zero, de modo que a imagem de f é Rsetminus0. Assim, f é sobrejetiva de Rsetminus0 sobre Rsetminus0.

Passo 4

Para achar a inversa, escrevemos y=f(x)=k/x e resolvemos para x:
y=kx Longrightarrow x=ky
Trocando y por x no resultado, obtemos a função inversa.

Resposta

A condição é kneq 0.
A inversa é
f^-1(x)=kx, xinRsetminus0

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