Questão 2 ( 3 pontos) Uma caixa retangular sem tampa deve ser construída a partir de uma folha de papelão de 4 m de largura e 6 m de comprimento, cortando quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando os lados para cima. Determine as dimensões dos quadrados cortados para que a caixa tenha volume máximo.

Passo 1

O problema dá uma folha de papelão retangular de 4 m de largura e 6 m de comprimento. Cortam-se quadrados iguais de lado x nos quatro cantos e dobra-se as abas para cima, formando uma caixa sem tampa. A pergunta é: determinar o valor de x de modo que o volume da caixa seja máximo. Dados relevantes: a largura inicial é 4 m e o comprimento inicial é 6 m; o quadrado cortado tem lado x (em metros). A altura da caixa será x.

Passo 2

Modelagem do volume: depois de cortar os quadrados e dobrar, as dimensões da base da caixa passam a ser (4-2x) pela (6-2x), porque se corta x em cada extremidade de cada lado. A altura é x. Portanto o volume V em função de x é
V(x)=x(4-2x)(6-2x).
Aqui x é a variável (lado do quadrado cortado) e V(x) é o volume em metros cúbicos.

Passo 3

Domínio de x: precisamos de lados positivos para a base, então
4-2x>0\Rightarrow x<2,
e
6-2x>0\Rightarrow x<3.
Além disso x>0. Assim o domínio admissível é
0<x<2.
Isso significa que só consideramos valores de x nessa faixa.

Passo 4

Simplificar a expressão do volume para facilitar derivação. Primeiro expandimos (4-2x)(6-2x):
(4-2x)(6-2x)=24-8x-12x+4x^{2}=24-20x+4x^{2}.
Logo
V(x)=x(24-20x+4x^{2})=24x-20x^{2}+4x^{3}.

Passo 5

Para achar máximo de V(x) calculamos a derivada primeira V'(x) e procuramos pontos críticos (onde V'(x)=0). Derivando termo a termo:
V'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(24x-20x^{2}+4x^{3}\bigr)=24-40x+12x^{2}.
Explicação rápida do que fiz: a derivada de ax^{n} é anx^{n-1}. Aqui foi aplicado a cada termo.

Passo 6

Encontrar os pontos críticos resolvendo V'(x)=0:
12x^{2}-40x+24=0.
Podemos dividir ambos os lados por 4 para simplificar:
3x^{2}-10x+6=0.
Isto é uma equação quadrática padrão ax^{2}+bx+c=0 com a=3, b=-10, c=6. Usamos a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{10\pm\sqrt{(-10)^{2}-4\cdot3\cdot6}}{2\cdot3}=\frac{10\pm\sqrt{100-72}}{6}=\frac{10\pm\sqrt{28}}{6}.
Como \sqrt{28}=2\sqrt{7}, obtemos
x=\frac{10\pm 2\sqrt{7}}{6}=\frac{5\pm\sqrt{7}}{3}.

Passo 7

Avaliar quais raízes estão no domínio 0<x<2. As duas raízes são
x_{1}=\frac{5-\sqrt{7}}{3},\qquad x_{2}=\frac{5+\sqrt{7}}{3}.
Numericamente, \sqrt{7}\approx 2,6458, então
x_{1}\approx\frac{5-2,6458}{3}\approx\frac{2,3542}{3}\approx0,7847,
x_{2}\approx\frac{5+2,6458}{3}\approx\frac{7,6458}{3}\approx2,5486.
Como x_{2}\approx2,5486>2, x_{2} está fora do domínio. Assim o único candidato interno é x_{1}=\dfrac{5-\sqrt{7}}{3}, que está dentro de 0<x<2.

Passo 8

Verificar que x_{1} corresponde a máximo, usando a segunda derivada. Calculamos
V''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(24-40x+12x^{2}\bigr)=-40+24x.
Avaliaremos em x_{1}. Como x_{1}\approx0,7847,
V''(x_{1})\approx -40+24\cdot0,7847=-40+18,8328\approx -21,1672<0.
Como V''(x_{1})<0, V tem um máximo local em x_{1}. Comparando com os extremos do intervalo (em x\to0^{+} e x\to2^{-} o volume é 0), conclui-se que este máximo local é de fato o máximo global no domínio.

Passo 9

Concluir e dar valor exato e aproximado. O tamanho do quadrado a ser cortado para maximizar o volume é
x=\frac{5-\sqrt{7}}{3}\\ \text{m}\approx0,785\\ \text{m}.
Se quiser, as dimensões internas da caixa resultante seriam base 4-2x por 6-2x e altura x.

Resposta

\;x=\dfrac{5-\sqrt{7}}{3}\\ \text{m}\approx0,785\\ \text{m}

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