Questão 2 ( 3 pontos) Uma caixa retangular sem tampa deve ser construída a partir de uma folha de papelão de
de largura e
de comprimento, cortando quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando os lados para cima. Determine as dimensões dos quadrados cortados para que a caixa tenha volume máximo.
Passo 1
O problema dá uma folha de papelão retangular de
m de largura e
m de comprimento. Cortam-se quadrados iguais de lado
nos quatro cantos e dobra-se as abas para cima, formando uma caixa sem tampa. A pergunta é: determinar o valor de
de modo que o volume da caixa seja máximo. Dados relevantes: a largura inicial é
m e o comprimento inicial é
m; o quadrado cortado tem lado
(em metros). A altura da caixa será
.
Passo 2
Modelagem do volume: depois de cortar os quadrados e dobrar, as dimensões da base da caixa passam a ser
pela
, porque se corta
em cada extremidade de cada lado. A altura é
. Portanto o volume
em função de
é
Aqui
é a variável (lado do quadrado cortado) e
é o volume em metros cúbicos.
Passo 3
Domínio de
: precisamos de lados positivos para a base, então
e
Além disso
. Assim o domínio admissível é
Isso significa que só consideramos valores de
nessa faixa.
Passo 4
Simplificar a expressão do volume para facilitar derivação. Primeiro expandimos
:
Logo
Passo 5
Para achar máximo de
calculamos a derivada primeira
e procuramos pontos críticos (onde
). Derivando termo a termo:
Explicação rápida do que fiz: a derivada de
é
. Aqui foi aplicado a cada termo.
Passo 6
Encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Podemos dividir ambos os lados por
para simplificar:
Isto é uma equação quadrática padrão
com
,
,
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Como
, obtemos
Passo 7
Avaliar quais raízes estão no domínio
. As duas raízes são
Numericamente,
, então
Como
,
está fora do domínio. Assim o único candidato interno é
, que está dentro de
.
Passo 8
Verificar que
corresponde a máximo, usando a segunda derivada. Calculamos
Avaliaremos em
. Como
,
Como
,
tem um máximo local em
. Comparando com os extremos do intervalo (em
e
o volume é
), conclui-se que este máximo local é de fato o máximo global no domínio.
Passo 9
Concluir e dar valor exato e aproximado. O tamanho do quadrado a ser cortado para maximizar o volume é
Se quiser, as dimensões internas da caixa resultante seriam base
por
e altura
.