Questão 3 (Resposta no verso) Para a função f(x) dada abaixo, encontre: (a) (0.5 ponto) Seu domínio; (b) (0.5 ponto) A paridade da função (Par? Ímpar?Nenhum dos dois?). Justifique; (c) ( 0.5 ponto) As assíntotas horizontais e verticais de f, quando existir; (d) (1 ponto) Intervalos de crescimento e decrescimento de f com pontos críticos classificados entre máximo, mínimo e sela; (e) ( \mathbf{0 . 5} ponto) Concavidade e os pontos de inflexão de f ;(\mathrm{g})(1 ponto) Esboce seu gráfico,
f(x)=\frac{x^{2}+x+1}{x+1} \quad\left(\text { Use } f^{\prime}(x)=\frac{x^{2}+2 x}{(x+1)^{2}} \text { e } f^{\prime \prime}(x)=\frac{2}{(x+1)^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre a função \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}+x+1}{x+1}. Mais precisamente:
(a) Determinar o domínio de f.
(b) Determinar se f é par, ímpar ou nenhum dos dois, com justificativa.
(c) Encontrar assíntotas horizontais e verticais (quando existirem).
(d) Determinar intervalos de crescimento e de decrescimento, identificar pontos críticos e classificá‑los (máximo, mínimo ou sela). Foi dado f'(x)=\dfrac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}}.
(e) Determinar concavidade e pontos de inflexão usando f''(x)=\dfrac{2}{(x+1)^{3}}.
(g) Esboçar o gráfico de f (ou descrever os elementos essenciais para esboçar).
Informações dadas no enunciado que vamos usar explicitamente: a expressão \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}+x+1}{x+1}, a derivada \displaystyle f'(x)=\frac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}} e a segunda derivada \displaystyle f''(x)=\frac{2}{(x+1)^{3}}. Não resolve nada neste passo, apenas listei o que é pedido e o que foi dado.

Passo 2

Domínio: expliquei como achar o domínio de uma função racional. Uma função racional \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} está definida para todos os x tais que Q(x)\neq 0. Aqui Q(x)=x+1, então devemos ter x+1\neq 0. Portanto qualquer x é permitido exceto o que anula o denominador. Resolve-se:
x+1\neq 0\implies x\neq -1.
Logo o domínio é o conjunto de todos os reais exceto -1:
\text{Dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1\}.

Passo 3

Paridade: para verificar se f é par ( f(-x)=f(x)) ou ímpar ( f(-x)=-f(x)) calculo f(-x) e comparo com f(x).
Calculo:
f(-x)=\frac{(-x)^{2}+(-x)+1}{-x+1}=\frac{x^{2}-x+1}{1-x}.
Podemos reorganizar o denominador: 1-x=-(x-1), então
f(-x)=-\frac{x^{2}-x+1}{x-1}.
Compare com
f(x)=\frac{x^{2}+x+1}{x+1}.
As expressões não coincidem em geral. Para dar uma contraprova numérica (bastam exemplos): escolha x=2. Então
f(2)=\frac{4+2+1}{3}=\frac{7}{3}, \qquad f(-2)=\frac{4-2+1}{-1}=-3.
Observe que f(-2)\neq f(2) e f(-2)\neq -f(2). Logo f não é par nem ímpar. Conclusão: “nenhum dos dois”.

Passo 4

Assíntotas — faço uma divisão polinomial para reescrever f de forma que as assíntotas fiquem explícitas. Divido x^{2}+x+1 por x+1. A conta rápida:
\frac{x^{2}+x+1}{x+1}=x+\frac{1}{x+1}.
Isto porque (x+1)\cdot x = x^{2}+x e sobra 1. Essa escrita é muito útil para analisar assíntotas e comportamento quando x\to\pm\infty e perto de x=-1.
  • Assíntota vertical: aparece quando o denominador se anula. Como vimos no domínio, x=-1 não está na função e a parcela \dfrac{1}{x+1} explode quando x\to -1. Portanto existe uma assíntota vertical em
x=-1.
Posso ainda indicar o comportamento lateral: ao aproximar x\to -1^+ temos x+1\to 0^+ então \dfrac{1}{x+1}\to +\infty e como a parte x é finita, f(x)\to +\infty. Ao aproximar x\to -1^- temos x+1\to 0^- então \dfrac{1}{x+1}\to -\infty e f(x)\to -\infty.
  • Assíntota horizontal: uma assíntota horizontal ocorre se \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=L finito. Aqui, usando f(x)=x+\dfrac{1}{x+1}, vemos que \dfrac{1}{x+1}\to 0 quando x\to\pm\infty, e então f(x)\sim x que tende a \pm\infty. Logo não há assíntota horizontal.
  • Assíntota oblíqua (inclinada): como f(x)=x+\dfrac{1}{x+1}, a reta y=x é uma assíntota oblíqua; mais formalmente \lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-x\big)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x+1}=0, então y=x é a assíntota oblíqua.

Passo 5

Crescimento/decrescimento — vamos usar f'(x)=\dfrac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}} fornecida no enunciado. Para estudar o sinal de f' fatoro o numerador:
x^{2}+2x = x(x+2).
O denominador (x+1)^{2} é sempre positivo para todo x\neq -1. Portanto o sinal de f'(x) é igual ao sinal de x(x+2). As raízes do numerador são x=0 e x=-2; também x=-1 é ponto onde f' não está definido (por ser ponto fora do domínio). Assim, os pontos de teste para o sinal são os intervalos determinados por -\infty,-2,-1,0,\infty.
Faço um quadro de sinais mentalmente (mostro com exemplos de pontos):
  • Para x<-2, por exemplo x=-3: x(x+2)=(-3)(-1)=+3>0 então f'>0 em (-\infty,-2).
  • Para -2<x<-1, por exemplo x=-1{,}5: x(x+2)=(-1{,}5)(0{,}5)=-0{,}75<0 então f'<0 em (-2,-1).
  • Para -1<x<0, por exemplo x=-0{,}5: x(x+2)=(-0{,}5)(1{,}5)=-0{,}75<0 então f'<0 em (-1,0).
  • Para x>0, por exemplo x=1: x(x+2)=1\cdot3=3>0 então f'>0 em (0,\infty).
Portanto:
  • f é crescente em (-\infty,-2) e (0,\infty).
  • f é decrescente em (-2,-1) e (-1,0).
Os pontos onde f'(x)=0 (e que estão no domínio) são x=-2 e x=0; estes são pontos críticos onde podemos ter máximos ou mínimos. O ponto x=-1 não pertence ao domínio, portanto não é um ponto crítico (é uma assíntota vertical / quebra de domínio).

Passo 6

Classificação dos pontos críticos pelo teste da segunda derivada (foi dada f''(x)=\dfrac{2}{(x+1)^{3}}).
Calculo f'' nos pontos críticos:
f''(-2)=\frac{2}{(-2+1)^{3}}=\frac{2}{(-1)^{3}}=\frac{2}{-1}=-2<0.
Como f''(-2)<0, f tem um máximo local em x=-2. O valor da função nesse ponto é
f(-2)=\frac{(-2)^{2}+(-2)+1}{-2+1}=\frac{4-2+1}{-1}=\frac{3}{-1}=-3.
Então há um máximo local em (-2,-3).
Agora o ponto x=0:
f''(0)=\frac{2}{(0+1)^{3}}=\frac{2}{1}=2>0.
Como f''(0)>0, f tem um mínimo local em x=0. O valor da função é
f(0)=\frac{0+0+1}{0+1}=1.
Logo há um mínimo local em (0,1).
Não há pontos críticos que sejam “sela” (no contexto de funções reais de uma variável, sela significa ponto crítico que não é nem máximo nem mínimo; aqui os dois pontos críticos foram classificados como máximo e mínimo). Também não há ponto crítico em x=-1 porque não faz parte do domínio.

Passo 7

Concavidade e pontos de inflexão — uso f''(x)=\dfrac{2}{(x+1)^{3}}.
O sinal de f'' depende do sinal de (x+1)^{3}. Como 2>0:
  • Para x>-1 temos x+1>0 e (x+1)^{3}>0 então f''(x)>0. Logo f é côncava para cima em (-1,\infty).
  • Para x<-1 temos x+1<0 e (x+1)^{3}<0 então f''(x)<0. Logo f é côncava para baixo em (-\infty,-1).
A concavidade muda ao atravessar x=-1, mas x=-1 não pertence ao domínio, portanto não é um ponto de inflexão (um ponto de inflexão deve pertencer ao domínio e ter mudança de concavidade). Conclusão: não há pontos de inflexão em \text{Dom}(f).

Passo 8

Outros detalhes úteis para o esboço do gráfico (reuni os dados-chave para desenhar a curva):
  • Decomposição útil (peguei isso ao fazer a divisão): \displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x+1}.
  • Assíntota vertical: x=-1 com comportamento \lim_{x\to -1^-}f(x)=-\infty e \lim_{x\to -1^+}f(x)=+\infty.
  • Assíntota oblíqua: reta y=x, pois \displaystyle f(x)-x=\frac{1}{x+1}\to 0 quando x\to\pm\infty.
  • Interceptos: f(0)=1 (intercepto em y é (0,1)). Não há interceptos em x porque x^{2}+x+1 não tem raízes reais (discriminante 1-4=-3<0).
  • Pontos críticos: máximo local em (-2,-3) e mínimo local em (0,1).
  • Crescimento/decrescimento e concavidade já listados nos passos anteriores.
  • Não há pontos de inflexão no domínio.
  • Comportamento para grandes |x|: f(x)\approx x e fica ligeiramente acima de y=x quando x>-1 (porque \dfrac{1}{x+1}>0 para x>-1) e ligeiramente abaixo de y=x quando x<-1 (porque \dfrac{1}{x+1}<0 para x<-1).
Com esses dados você pode esboçar a curva: para x<-1 (concavidade para baixo) a curva vem de +\infty para x\to -1^{-}? Atenção: verificar sinal ao longe: quando x\to -\infty, f(x)\sim x\to -\infty. Entre -\infty e -2 a função é crescente e concava para baixo, atinge máximo em (-2,-3), depois decresce até o assíntota vertical em -1 indo a -\infty. Para x>-1 a função sai de +\infty em -1^{+}, decresce até o mínimo em (0,1), depois cresce para \infty seguindo perto da reta y=x, com concavidade para cima.

Resposta

(a) \text{Dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1\}.
(b) Nenhum dos dois (nem par nem ímpar).
(c) Assíntota vertical: x=-1. Não há assíntota horizontal. Assíntota oblíqua: y=x.
(d) Crescente em (-\infty,-2) e (0,\infty). Decrescente em (-2,-1) e (-1,0). Ponto crítico x=-2: máximo local em (-2,-3). Ponto crítico x=0: mínimo local em (0,1).
(e) Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,-1) e côncava para cima em (-1,\infty). Não há pontos de inflexão no domínio.
(g) Esboço (descrição): reta assíntota y=x; ramo à esquerda de x=-1 que é crescente em (-\infty,-2), atinge máximo em (-2,-3) e decresce para -\infty quando x\to -1^{-}; ramo à direita de x=-1 sai de +\infty em -1^{+}, decresce até o mínimo em (0,1) e cresce depois aproximando‑se da reta y=x para x\to\infty.

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