Questão 3 (Resposta no verso) Para a função
dada abaixo, encontre: (a) (0.5 ponto) Seu domínio; (b) (0.5 ponto) A paridade da função (Par? Ímpar?Nenhum dos dois?). Justifique; (c) ( 0.5 ponto) As assíntotas horizontais e verticais de
, quando existir; (d) (1 ponto) Intervalos de crescimento e decrescimento de
com pontos críticos classificados entre máximo, mínimo e sela; (e) (
ponto) Concavidade e os pontos de inflexão de
ponto) Esboce seu gráfico,
Passo 1
O enunciado pede várias coisas sobre a função
. Mais precisamente:
(a) Determinar o domínio de .
(b) Determinar se é par, ímpar ou nenhum dos dois, com justificativa.
(c) Encontrar assíntotas horizontais e verticais (quando existirem).
(d) Determinar intervalos de crescimento e de decrescimento, identificar pontos críticos e classificá‑los (máximo, mínimo ou sela). Foi dado .
(e) Determinar concavidade e pontos de inflexão usando .
(g) Esboçar o gráfico de (ou descrever os elementos essenciais para esboçar).
(a) Determinar o domínio de
(b) Determinar se
(c) Encontrar assíntotas horizontais e verticais (quando existirem).
(d) Determinar intervalos de crescimento e de decrescimento, identificar pontos críticos e classificá‑los (máximo, mínimo ou sela). Foi dado
(e) Determinar concavidade e pontos de inflexão usando
(g) Esboçar o gráfico de
Informações dadas no enunciado que vamos usar explicitamente: a expressão
, a derivada
e a segunda derivada
. Não resolve nada neste passo, apenas listei o que é pedido e o que foi dado.
Passo 2
Domínio: expliquei como achar o domínio de uma função racional. Uma função racional
está definida para todos os
tais que
. Aqui
, então devemos ter
. Portanto qualquer
é permitido exceto o que anula o denominador. Resolve-se:
Logo o domínio é o conjunto de todos os reais exceto
:
Passo 3
Paridade: para verificar se
é par (
) ou ímpar (
) calculo
e comparo com
.
Calculo:
Calculo:
Podemos reorganizar o denominador:
, então
Compare com
As expressões não coincidem em geral. Para dar uma contraprova numérica (bastam exemplos): escolha
. Então
Observe que
e
. Logo
não é par nem ímpar. Conclusão: “nenhum dos dois”.
Passo 4
Assíntotas — faço uma divisão polinomial para reescrever
de forma que as assíntotas fiquem explícitas. Divido
por
. A conta rápida:
Isto porque
e sobra
. Essa escrita é muito útil para analisar assíntotas e comportamento quando
e perto de
.
- Assíntota vertical: aparece quando o denominador se anula. Como vimos no domínio,
não está na função e a parcela explode quando . Portanto existe uma assíntota vertical em
Posso ainda indicar o comportamento lateral: ao aproximar
temos
então
e como a parte
é finita,
. Ao aproximar
temos
então
e
.
-
Assíntota horizontal: uma assíntota horizontal ocorre se
finito. Aqui, usando , vemos que quando , e então que tende a . Logo não há assíntota horizontal. -
Assíntota oblíqua (inclinada): como
, a reta é uma assíntota oblíqua; mais formalmente , então é a assíntota oblíqua.
Passo 5
Crescimento/decrescimento — vamos usar
fornecida no enunciado. Para estudar o sinal de
fatoro o numerador:
O denominador
é sempre positivo para todo
. Portanto o sinal de
é igual ao sinal de
. As raízes do numerador são
e
; também
é ponto onde
não está definido (por ser ponto fora do domínio). Assim, os pontos de teste para o sinal são os intervalos determinados por
.
Faço um quadro de sinais mentalmente (mostro com exemplos de pontos):
- Para
, por exemplo : então em . - Para
, por exemplo : então em . - Para
, por exemplo : então em . - Para
, por exemplo : então em .
Portanto:
-
é crescente em e . -
é decrescente em e .
Os pontos onde
(e que estão no domínio) são
e
; estes são pontos críticos onde podemos ter máximos ou mínimos. O ponto
não pertence ao domínio, portanto não é um ponto crítico (é uma assíntota vertical / quebra de domínio).
Passo 6
Classificação dos pontos críticos pelo teste da segunda derivada (foi dada
).
Calculo
nos pontos críticos:
Como
,
tem um máximo local em
. O valor da função nesse ponto é
Então há um máximo local em
.
Agora o ponto
:
Como
,
tem um mínimo local em
. O valor da função é
Logo há um mínimo local em
.
Não há pontos críticos que sejam “sela” (no contexto de funções reais de uma variável, sela significa ponto crítico que não é nem máximo nem mínimo; aqui os dois pontos críticos foram classificados como máximo e mínimo). Também não há ponto crítico em
porque não faz parte do domínio.
Passo 7
Concavidade e pontos de inflexão — uso
.
O sinal de
depende do sinal de
. Como
:
- Para
temos e então . Logo é côncava para cima em . - Para
temos e então . Logo é côncava para baixo em .
A concavidade muda ao atravessar
, mas
não pertence ao domínio, portanto não é um ponto de inflexão (um ponto de inflexão deve pertencer ao domínio e ter mudança de concavidade). Conclusão: não há pontos de inflexão em
.
Passo 8
Outros detalhes úteis para o esboço do gráfico (reuni os dados-chave para desenhar a curva):
- Decomposição útil (peguei isso ao fazer a divisão):
. - Assíntota vertical:
com comportamento e . - Assíntota oblíqua: reta
, pois quando . - Interceptos:
(intercepto em é ). Não há interceptos em porque não tem raízes reais (discriminante ). - Pontos críticos: máximo local em
e mínimo local em . - Crescimento/decrescimento e concavidade já listados nos passos anteriores.
- Não há pontos de inflexão no domínio.
- Comportamento para grandes
: e fica ligeiramente acima de quando (porque para ) e ligeiramente abaixo de quando (porque para ).
Com esses dados você pode esboçar a curva: para
(concavidade para baixo) a curva vem de
para
? Atenção: verificar sinal ao longe: quando
,
. Entre
e
a função é crescente e concava para baixo, atinge máximo em
, depois decresce até o assíntota vertical em
indo a
. Para
a função sai de
em
, decresce até o mínimo em
, depois cresce para
seguindo perto da reta
, com concavidade para cima.
Resposta
(a)
.
(b) Nenhum dos dois (nem par nem ímpar).
(c) Assíntota vertical: . Não há assíntota horizontal. Assíntota oblíqua:
.
(d) Crescente em e
. Decrescente em
e
. Ponto crítico
: máximo local em
. Ponto crítico
: mínimo local em
.
(e) Concavidade: côncava para baixo em e côncava para cima em
. Não há pontos de inflexão no domínio.
(g) Esboço (descrição): reta assíntota ; ramo à esquerda de
que é crescente em
, atinge máximo em
e decresce para
quando
; ramo à direita de
sai de
em
, decresce até o mínimo em
e cresce depois aproximando‑se da reta
para
.
(b) Nenhum dos dois (nem par nem ímpar).
(c) Assíntota vertical:
(d) Crescente em
(e) Concavidade: côncava para baixo em
(g) Esboço (descrição): reta assíntota