Questīo 1 (1 ponto cada) Para cada funçāo abaixo, calcule sua derivada (colocar somente a resposta):
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede: calcular as derivadas das três funções dadas e apresentar somente a resposta no final. As funções fornecidas são:
Vou trabalhar passo a passo para cada função e, no final, colocar apenas as respostas solicitadas.
Passo 2
Revisão rápida das regras que vou usar (com explicação simples e exemplo mental):
- Regra da cadeia: se
, então . Pense em “derivar de fora e multiplicar pela derivada de dentro”. - Derivada de potência: se
com , então . - Derivada do log natural: se
, então . - Derivada do exponencial: se
, então . - Regra do produto: se
, então .
Vou aplicar essas regras explicitando o que é “fora” e o que é “dentro” em cada cadeia.
Passo 3
Derivando
.
Identifico a função externa
e a função interna
.
- Derivada de fora:
. - Derivada de dentro: para
uso a regra do quociente:
Agora aplico a cadeia:
. Substituindo
e
:
Passo 4
Simplifico a expressão de
. Primeiro escrevo
. Assim,
Agora simplifico a potência de
:
. Portanto
Passo 5
Derivando
. Aqui aplico a regra do produto com
e
.
-
. - Para
uso cadeia: função externa com . Derivada de fora é e derivada de dentro é . Logo .
Aplicando a regra do produto:
Fatorando
obtemos a forma mais enxuta:
Passo 6
Se quiser,
também pode ser escrita como
. Ambas são equivalentes; vou deixar a forma
para a resposta final.
Passo 7
Derivando
. Primeiro uso propriedades do log para simplificar:
Agora derivo termo a termo:
- Para
: a derivada é . - Para
: a derivada é .
Somando,