Questīo 1 (1 ponto cada) Para cada funçāo abaixo, calcule sua derivada (colocar somente a resposta):
(a) f^{\prime}(x)=
f(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x-1}} ; g(x)=x^{2} e^{\cos x} ; h(x)=\ln \left(\frac{\left(x^{2}+1\right)^{4}}{(x+3)^{7}}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular as derivadas das três funções dadas e apresentar somente a resposta no final. As funções fornecidas são:
f(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x-1}},\qquad g(x)=x^{2}e^{\cos x},\qquad h(x)=\ln\left(\frac{(x^{2}+1)^{4}}{(x+3)^{7}}\right).
Vou trabalhar passo a passo para cada função e, no final, colocar apenas as respostas solicitadas.

Passo 2

Revisão rápida das regras que vou usar (com explicação simples e exemplo mental):
  • Regra da cadeia: se y=\varphi(\psi(x)), então y'=\varphi'(\psi(x))\cdot\psi'(x). Pense em “derivar de fora e multiplicar pela derivada de dentro”.
  • Derivada de potência: se y=u^{n} com u=u(x), então y'=n\,u^{\,n-1}\,u'.
  • Derivada do log natural: se y=\ln u, então y'=\dfrac{u'}{u}.
  • Derivada do exponencial: se y=e^{u}, então y'=u' e^{u}.
  • Regra do produto: se y=uv, então y'=u'v+uv'.
    Vou aplicar essas regras explicitando o que é “fora” e o que é “dentro” em cada cadeia.

Passo 3

Derivando f(x)=\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}=\left(\dfrac{x+2}{x-1}\right)^{1/2}.
Identifico a função externa \varphi(u)=u^{1/2} e a função interna u(x)=\dfrac{x+2}{x-1}.
  • Derivada de fora: \varphi'(u)=\dfrac{1}{2}u^{-1/2}.
  • Derivada de dentro: para u(x)=\dfrac{x+2}{x-1} uso a regra do quociente: u'(x)=\frac{(x-1)\cdot 1 - (x+2)\cdot 1}{(x-1)^{2}}=\frac{x-1-x-2}{(x-1)^{2}}=\frac{-3}{(x-1)^{2}}.
Agora aplico a cadeia: f'(x)=\dfrac{1}{2}u^{-1/2}\cdot u'(x). Substituindo u e u':
f'(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^{-1/2}\cdot\frac{-3}{(x-1)^{2}}.

Passo 4

Simplifico a expressão de f'(x). Primeiro escrevo \left(\dfrac{x+2}{x-1}\right)^{-1/2}=\dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+2}}. Assim,
f'(x)=\frac{-3}{2}\cdot\frac{\sqrt{x-1}}{(x-1)^{2}\sqrt{x+2}}.
Agora simplifico a potência de x-1: \dfrac{\sqrt{x-1}}{(x-1)^{2}}=\dfrac{1}{(x-1)^{3/2}}. Portanto
f'(x)=-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{(x-1)^{3/2}\sqrt{x+2}}=-\frac{3}{2\,(x-1)^{3/2}\sqrt{x+2}}.

Passo 5

Derivando g(x)=x^{2}e^{\cos x}. Aqui aplico a regra do produto com u(x)=x^{2} e v(x)=e^{\cos x}.
  • u'(x)=2x.
  • Para v(x)=e^{\cos x} uso cadeia: função externa e^{t} com t=\cos x. Derivada de fora é e^{t} e derivada de dentro é t'=-\sin x. Logo v'(x)=-\sin x\;e^{\cos x}.
    Aplicando a regra do produto:
g'(x)=u'v+uv' = 2x\,e^{\cos x} + x^{2}\big(-\sin x\,e^{\cos x}\big).
Fatorando e^{\cos x} obtemos a forma mais enxuta:
g'(x)=e^{\cos x}\big(2x - x^{2}\sin x\big).

Passo 6

Se quiser, g'(x) também pode ser escrita como g'(x)=x e^{\cos x}(2 - x\sin x). Ambas são equivalentes; vou deixar a forma e^{\cos x}(2x - x^{2}\sin x) para a resposta final.

Passo 7

Derivando h(x)=\ln\left(\dfrac{(x^{2}+1)^{4}}{(x+3)^{7}}\right). Primeiro uso propriedades do log para simplificar:
h(x)=\ln\big((x^{2}+1)^{4}\big)-\ln\big((x+3)^{7}\big)=4\ln(x^{2}+1)-7\ln(x+3).
Agora derivo termo a termo:
  • Para 4\ln(x^{2}+1): a derivada é 4\cdot\dfrac{(x^{2}+1)'}{x^{2}+1}=4\cdot\dfrac{2x}{x^{2}+1}=\dfrac{8x}{x^{2}+1}.
  • Para -7\ln(x+3): a derivada é -7\cdot\dfrac{1}{x+3}=-\dfrac{7}{x+3}.
    Somando,
h'(x)=\frac{8x}{x^{2}+1}-\frac{7}{x+3}.

Resposta

f'(x)=-\dfrac{3}{2\,(x-1)^{3/2}\sqrt{x+2}}\n
g'(x)=e^{\cos x}\big(2x - x^{2}\sin x\big)\n
h'(x)=\dfrac{8x}{x^{2}+1}-\dfrac{7}{x+3}

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