Questão 1: ( 2,5 pontos) Calcule a área entre as curvas dadas a seguir:
f(x)=\sin (x), g(x)=\cos (x), x \in\left[\frac{\pi}{4}, 2 \pi+\frac{\pi}{4}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área entre as curvas dadas por
f(x)=\sin(x),\qquad g(x)=\cos(x),
no intervalo
x\in\left[\frac{\pi}{4},\,2\pi+\frac{\pi}{4}\right].
Informações relevantes dadas:
\text{- as duas funções são }f(x)=\sin(x)\text{ e }g(x)=\cos(x);çõã
\text{- o intervalo de integração é } \left[\frac{\pi}{4},\,2\pi+\frac{\pi}{4}\right].çãé
Pergunta explícita: calcular a área entre as curvas f e g nesse intervalo.

Passo 2

Conceito necessário (explicado devagar): a área entre duas curvas f e g ao longo de um intervalo [a,b] é dada por
\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx.
Isto significa que devemos integrar a diferença absoluta entre as funções — porque onde f está acima de g a diferença é positiva e onde g está acima de f a diferença é negativa; a área é sempre positiva, por isso usamos o valor absoluto. Na prática, dividimos [a,b] em subintervalos onde a ordem entre f e g não muda (ou seja, entre pontos de interseção) e integramos a diferença sem o módulo com o sinal apropriado.

Passo 3

Vamos achar os pontos em que as curvas se interceptam, pois são onde f(x)=g(x). Resolver
\sin(x)=\cos(x).
Dividindo por \cos(x) (onde definida) obtemos
\tan(x)=1.
A solução geral para \tan(x)=1 é
x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Agora precisamos dos valores desse tipo que pertencem ao intervalo \left[\frac{\pi}{4},\,2\pi+\frac{\pi}{4}\right].

Passo 4

Listando as interseções no intervalo:
  • Para k=0: x=\frac{\pi}{4} (é o limite esquerdo do intervalo).
  • Para k=1: x=\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5\pi}{4} (está dentro do intervalo).
  • Para k=2: x=\frac{\pi}{4}+2\pi=\frac{9\pi}{4}=2\pi+\frac{\pi}{4} (é o limite direito do intervalo).
Portanto as interseções que particionam o intervalo são em
x=\frac{\pi}{4},\qquad x=\frac{5\pi}{4},\qquad x=\frac{9\pi}{4}.
Isso divide o intervalo em dois subintervalos: \left[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right] e \left[\frac{5\pi}{4},\frac{9\pi}{4}\right].

Passo 5

Precisamos saber em cada subintervalo qual função é maior (para tirar o valor absoluto). Testo um ponto em cada subintervalo:
  • No intervalo \left(\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right) tomo x=\frac{\pi}{2}. Então
    \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,
    logo \sin x>\cos x nesse subintervalo. Assim a diferença é \sin x-\cos x (positiva).
  • No intervalo \left(\frac{5\pi}{4},\frac{9\pi}{4}\right) tomo x=\frac{3\pi}{2}. Então
    \sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1,\qquad \cos\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0,
    logo \sin x<\cos x ali. Assim a diferença absoluta é \cos x-\sin x nesse subintervalo.
Resumo: a integral da área se escreve como soma de duas integrais sem módulo, com sinais escolhidos conforme acima.

Passo 6

Escrevendo a área como soma das duas integrais:
\text{Área}=\int_{\pi/4}^{5\pi/4}(\sin x-\cos x)\,dx+\int_{5\pi/4}^{9\pi/4}(\cos x-\sin x)\,dx.Á
Agora vamos integrar cada termo. Antes, uma pequena lição sobre integrais simples:
  • A primitiva (antiderivada) de \sin x é -\cos x, porque derivando -\cos x obtemos \sin x.
  • A primitiva de \cos x é \sin x, porque derivando \sin x obtemos \cos x.
Usando isso,
\int(\sin x-\cos x)\,dx=-\cos x-\sin x + C,
\int(\cos x-\sin x)\,dx=\sin x+\cos x + C.

Passo 7

Calculo da primeira integral:
\int_{\pi/4}^{5\pi/4}(\sin x-\cos x)\,dx=\left[-\cos x-\sin x\right]_{x=\pi/4}^{x=5\pi/4}.
Agora precisamos dos valores de seno e cosseno nesses ângulos. Lembrete simples:
\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},
\sin\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Substituindo:
-\cos\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)-\sin\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.
-\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)-\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}.
A diferença é
\sqrt{2}-(-\sqrt{2})=2\sqrt{2}.
Portanto a primeira integral vale 2\sqrt{2}.

Passo 8

Calculo da segunda integral:
\int_{5\pi/4}^{9\pi/4}(\cos x-\sin x)\,dx=\left[\sin x+\cos x\right]_{x=5\pi/4}^{x=9\pi/4}.
Note que 9\pi/4=2\pi+\pi/4, e funções seno e cosseno têm período 2\pi, então
\sin\!\left(\frac{9\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},
\cos\!\left(\frac{9\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Também já temos os valores em 5\pi/4:
\sin\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Substituindo:
\sin\!\left(\frac{9\pi}{4}\right)+\cos\!\left(\frac{9\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},
\sin\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)+\cos\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}.
A diferença é
\sqrt{2}-(-\sqrt{2})=2\sqrt{2}.
Portanto a segunda integral também vale 2\sqrt{2}.

Passo 9

Somando as duas contribuições:
\text{Área}=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}.Á
Pequeno incentivo: deu trabalho, mas as contas são diretas se você lembrar das primitivas e dos valores de seno e cosseno nos ângulos principais!

Resposta

\,4\sqrt{2}

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