Questão 1: ( 2,5 pontos) Calcule a área entre as curvas dadas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área entre as curvas dadas por
no intervalo
Informações relevantes dadas:
Pergunta explícita: calcular a área entre as curvas
e
nesse intervalo.
Passo 2
Conceito necessário (explicado devagar): a área entre duas curvas
e
ao longo de um intervalo
é dada por
Isto significa que devemos integrar a diferença absoluta entre as funções — porque onde
está acima de
a diferença é positiva e onde
está acima de
a diferença é negativa; a área é sempre positiva, por isso usamos o valor absoluto. Na prática, dividimos
em subintervalos onde a ordem entre
e
não muda (ou seja, entre pontos de interseção) e integramos a diferença sem o módulo com o sinal apropriado.
Passo 3
Vamos achar os pontos em que as curvas se interceptam, pois são onde
. Resolver
Dividindo por
(onde definida) obtemos
A solução geral para
é
Agora precisamos dos valores desse tipo que pertencem ao intervalo
.
Passo 4
Listando as interseções no intervalo:
- Para
: (é o limite esquerdo do intervalo). - Para
: (está dentro do intervalo). - Para
: (é o limite direito do intervalo).
Portanto as interseções que particionam o intervalo são em
Isso divide o intervalo em dois subintervalos:
e
.
Passo 5
Precisamos saber em cada subintervalo qual função é maior (para tirar o valor absoluto). Testo um ponto em cada subintervalo:
-
No intervalo
tomo . Então logonesse subintervalo. Assim a diferença é (positiva). -
No intervalo
tomo . Então logoali. Assim a diferença absoluta é nesse subintervalo.
Resumo: a integral da área se escreve como soma de duas integrais sem módulo, com sinais escolhidos conforme acima.
Passo 6
Escrevendo a área como soma das duas integrais:
Agora vamos integrar cada termo. Antes, uma pequena lição sobre integrais simples:
- A primitiva (antiderivada) de
é , porque derivando obtemos . - A primitiva de
é , porque derivando obtemos .
Usando isso,
Passo 7
Calculo da primeira integral:
Agora precisamos dos valores de seno e cosseno nesses ângulos. Lembrete simples:
Substituindo:
A diferença é
Portanto a primeira integral vale
.
Passo 8
Calculo da segunda integral:
Note que
, e funções seno e cosseno têm período
, então
Também já temos os valores em
:
Substituindo:
A diferença é
Portanto a segunda integral também vale
.
Passo 9
Somando as duas contribuições:
Pequeno incentivo: deu trabalho, mas as contas são diretas se você lembrar das primitivas e dos valores de seno e cosseno nos ângulos principais!