Questão 2: ( 2,5 pontos) Imagine uma casquinha de sorvete em 2D, com uma colherada do seu sabor favorito, e delimitada por y=6|x| e y=16-x^{2}.
i. Determine a quantidade de sorvete que irá saborear, ou seja, calcule a área delimitada pelas curvas dadas acima;
ii. Depois de dar uma mordida, o que restou de sorvete ficou delimitado por y=6|x|, y=16-x^{2} e y=x^{2}+12. Calcule a quantidade de sorvete que ainda resta.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas distintas:
i. Calcular a área da região em 2D limitada pelas curvas y=6|x| e y=16-x^{2} — isto é, a quantidade de sorvete antes da mordida.
ii. Depois da mordida, o que restou do sorvete ficou delimitado pelas curvas y=6|x|, y=16-x^{2} e y=x^{2}+12. Calcular a área dessa região restante.
Informações importantes dadas pelo enunciado: y=6|x| é a “V” simétrica com vértice na origem; y=16-x^{2} é uma parábola voltada para baixo; y=x^{2}+12 é uma parábola voltada para cima, deslocada para cima. Vou usar essas curvas para achar pontos de interseção e integrar a diferença entre curva superior e inferior para obter áreas.

Passo 2

Primeiro determine as interseções entre y=6|x| e y=16-x^{2}, porque essas interseções dão os limites horizontais da região da parte (i).
Resolver 16-x^{2}=6|x|. Como há valor absoluto, trato duas regiões:
  • Para x\ge 0: |x|=x. Temos
16-x^{2}=6x \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+6x-16=0.
Use a fórmula quadrática x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} com a=1,\;b=6,\;c=-16:
x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+64}}{2}=\dfrac{-6\pm 10}{2}.
As raízes são x=2 e x=-8; para x\ge0 aceitamos x=2.
  • Para x<0: |x|=-x. Temos
16-x^{2}=-6x \quad\Longrightarrow\quad -x^{2}+6x+16=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-6x-16=0.
Aplicando a fórmula:
x=\dfrac{6\pm\sqrt{36+64}}{2}=\dfrac{6\pm 10}{2},
as raízes são x=8 e x=-2; para x<0 aceitamos x=-2.
Portanto os pontos de interseção relevantes da região são x=-2 e x=2.

Passo 3

Agora precisamos saber qual curva é a superior (topo) e qual é a inferior (fundo) entre x=-2 e x=2. Isso é necessário para montar a integral da área: área = \displaystyle\int ( \text{curva superior} - \text{curva inferior} )\,dx.
Avalie as funções em x=0:
y_{parab}=16-0=16,\qquad y_{V}=6|0|=0.
Logo, perto de 0 a parábola y=16-x^{2} está acima de y=6|x|. Assim, sobre [-2,2] a curva superior é y=16-x^{2} e a inferior é y=6|x|.
Por causa do valor absoluto, é conveniente dividir a integral em [-2,0] e [0,2]:
  • Para x\in[-2,0], |x|=-x e 6|x|= -6x.
  • Para x\in[0,2], |x|=x e 6|x|=6x.

Passo 4

Montamos a integral da área da parte (i):
\text{Área}_{\text{total}}=\int_{-2}^{0}\bigl(16-x^{2}-(-6x)\bigr)\,dx+\int_{0}^{2}\bigl(16-x^{2}-6x\bigr)\,dx.Á
Simplificando os integrandos:
\text{Área}_{\text{total}}=\int_{-2}^{0}\bigl(16-x^{2}+6x\bigr)\,dx+\int_{0}^{2}\bigl(16-x^{2}-6x\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Calcule a primitiva de 16-x^{2}+6x. Uma primitiva é
F(x)=16x-\dfrac{x^{3}}{3}+3x^{2},
pois \dfrac{d}{dx}F(x)=16-x^{2}+6x.
Avalie de -2 a 0:
\int_{-2}^{0}\bigl(16-x^{2}+6x\bigr)\,dx=F(0)-F(-2).
Calcule F(-2):
F(-2)=16(-2)-\dfrac{(-2)^{3}}{3}+3(-2)^{2}=-32+\dfrac{8}{3}+12=-20+\dfrac{8}{3}=-\dfrac{52}{3}.
Logo a primeira integral vale
F(0)-F(-2)=0-(-\tfrac{52}{3})=\tfrac{52}{3}.

Passo 6

Agora calcule a segunda integral. Uma primitiva de 16-x^{2}-6x é
G(x)=16x-\dfrac{x^{3}}{3}-3x^{2},
pois \dfrac{d}{dx}G(x)=16-x^{2}-6x.
Avalie de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\bigl(16-x^{2}-6x\bigr)\,dx=G(2)-G(0).
Calcule G(2):
G(2)=16\cdot 2-\dfrac{8}{3}-3\cdot 4=32-\dfrac{8}{3}-12=20-\dfrac{8}{3}=\dfrac{52}{3}.
Portanto a segunda integral também vale \dfrac{52}{3}.

Passo 7

Somando as duas parcelas obtemos a área total antes da mordida:
\text{Área}_{\text{total}}=\dfrac{52}{3}+\dfrac{52}{3}=\dfrac{104}{3}.Á
Esse é o resultado da parte (i).

Passo 8

Agora parte (ii): foi dada a curva adicional y=x^{2}+12. Interpretando geometricamente, a mordida removeu a porção central que estava acima de y=x^{2}+12. O que restou do sorvete é, portanto, a região original menos a “lente” formada entre y=16-x^{2} (acima) e y=x^{2}+12 (abaixo), para os x onde essas duas parábolas se cruzam. Em outras palavras:
\text{Área}_{\text{restante}}=\text{Área}_{\text{total}}-\text{Área}_{\text{lente}},ÁÁÁ
onde a lente é a região entre as duas parábolas y=16-x^{2} e y=x^{2}+12.
Primeiro encontramos os pontos de interseção entre 16-x^{2} e x^{2}+12:
16-x^{2}=x^{2}+12 \quad\Longrightarrow\quad 4-2x^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=2.
Logo x=\pm\sqrt{2}. O valor de y nessas interseções é y= x^{2}+12 = 2+12=14.
Também verifiquei se y=6|x| intersecta y=x^{2}+12. Resolve-se x^{2}+12=6|x|. Para x\ge0 temos x^{2}-6x+12=0 com discriminante \Delta=36-48<0, sem raízes reais; para x<0 da mesma forma sem raízes reais. Logo y=6|x| não intersecta y=x^{2}+12. Isso confirma que a lente entre as duas parábolas está dentro da região original e sua remoção deixa um resto cuja fronteira usa trechos das três curvas conforme dito.

Passo 9

Calcule a área da lente entre x=-\sqrt{2} e x=\sqrt{2}:
\text{Área}_{\text{lente}}=\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\bigl((16-x^{2})-(x^{2}+12)\bigr)\,dx =\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\bigl(4-2x^{2}\bigr)\,dx.Á
A função 4-2x^{2} é par, então podemos usar simetria:
\text{Área}_{\text{lente}}=2\int_{0}^{\sqrt{2}}\bigl(4-2x^{2}\bigr)\,dx.Á
Uma primitiva é H(x)=4x-\dfrac{2}{3}x^{3}. Assim
\text{Área}_{\text{lente}}=2\Bigl[\,4x-\dfrac{2}{3}x^{3}\Bigr]_{0}^{\sqrt{2}} =2\Bigl(4\sqrt{2}-\dfrac{2}{3}(\sqrt{2})^{3}\Bigr).Á
Como (\sqrt{2})^{3}=2\sqrt{2}, temos
\text{Área}_{\text{lente}}=2\Bigl(4\sqrt{2}-\dfrac{2}{3}\cdot 2\sqrt{2}\Bigr) =2\Bigl(4\sqrt{2}-\dfrac{4\sqrt{2}}{3}\Bigr) =2\cdot \dfrac{12\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{3} =2\cdot \dfrac{8\sqrt{2}}{3} =\dfrac{16\sqrt{2}}{3}.Á

Passo 10

Finalmente, a área que resta depois da mordida é a área inicial menos a área da lente:
\text{Área}_{\text{restante}}=\dfrac{104}{3}-\dfrac{16\sqrt{2}}{3}=\dfrac{104-16\sqrt{2}}{3}.Á

Resposta

\dfrac{104}{3}
\dfrac{104-16\sqrt{2}}{3}

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