Questão 2: ( 2,5 pontos) Imagine uma casquinha de sorvete em 2D, com uma colherada do seu sabor favorito, e delimitada por
e
.
i. Determine a quantidade de sorvete que irá saborear, ou seja, calcule a área delimitada pelas curvas dadas acima;
ii. Depois de dar uma mordida, o que restou de sorvete ficou delimitado por
,
e
. Calcule a quantidade de sorvete que ainda resta.
i. Determine a quantidade de sorvete que irá saborear, ou seja, calcule a área delimitada pelas curvas dadas acima;
ii. Depois de dar uma mordida, o que restou de sorvete ficou delimitado por
Passo 1
O enunciado pede duas coisas distintas:
i. Calcular a área da região em 2D limitada pelas curvas e
— isto é, a quantidade de sorvete antes da mordida.
ii. Depois da mordida, o que restou do sorvete ficou delimitado pelas curvas ,
e
. Calcular a área dessa região restante.
i. Calcular a área da região em 2D limitada pelas curvas
ii. Depois da mordida, o que restou do sorvete ficou delimitado pelas curvas
Informações importantes dadas pelo enunciado:
é a “V” simétrica com vértice na origem;
é uma parábola voltada para baixo;
é uma parábola voltada para cima, deslocada para cima. Vou usar essas curvas para achar pontos de interseção e integrar a diferença entre curva superior e inferior para obter áreas.
Passo 2
Primeiro determine as interseções entre
e
, porque essas interseções dão os limites horizontais da região da parte (i).
Resolver
. Como há valor absoluto, trato duas regiões:
- Para
: . Temos
Use a fórmula quadrática
com
:
As raízes são
e
; para
aceitamos
.
- Para
: . Temos
Aplicando a fórmula:
as raízes são
e
; para
aceitamos
.
Portanto os pontos de interseção relevantes da região são
e
.
Passo 3
Agora precisamos saber qual curva é a superior (topo) e qual é a inferior (fundo) entre
e
. Isso é necessário para montar a integral da área: área =
.
Avalie as funções em
:
Logo, perto de
a parábola
está acima de
. Assim, sobre
a curva superior é
e a inferior é
.
Por causa do valor absoluto, é conveniente dividir a integral em
e
:
- Para
, e . - Para
, e .
Passo 4
Montamos a integral da área da parte (i):
Simplificando os integrandos:
Passo 5
Calcule a primitiva de
. Uma primitiva é
pois
.
Avalie de
a
:
Calcule
:
Logo a primeira integral vale
Passo 6
Agora calcule a segunda integral. Uma primitiva de
é
pois
.
Avalie de
a
:
Calcule
:
Portanto a segunda integral também vale
.
Passo 7
Somando as duas parcelas obtemos a área total antes da mordida:
Esse é o resultado da parte (i).
Passo 8
Agora parte (ii): foi dada a curva adicional
. Interpretando geometricamente, a mordida removeu a porção central que estava acima de
. O que restou do sorvete é, portanto, a região original menos a “lente” formada entre
(acima) e
(abaixo), para os
onde essas duas parábolas se cruzam. Em outras palavras:
onde a lente é a região entre as duas parábolas
e
.
Primeiro encontramos os pontos de interseção entre
e
:
Logo
. O valor de
nessas interseções é
.
Também verifiquei se
intersecta
. Resolve-se
. Para
temos
com discriminante
, sem raízes reais; para
da mesma forma sem raízes reais. Logo
não intersecta
. Isso confirma que a lente entre as duas parábolas está dentro da região original e sua remoção deixa um resto cuja fronteira usa trechos das três curvas conforme dito.
Passo 9
Calcule a área da lente entre
e
:
A função
é par, então podemos usar simetria:
Uma primitiva é
. Assim
Como
, temos
Passo 10
Finalmente, a área que resta depois da mordida é a área inicial menos a área da lente: