Questão 1. ( 2,0 pontos) Calcule a derivada das funções definidas a seguir:
ponto)
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas importantes:
- A função contém uma potência em que a base e o expoente dependem de
. - A expressão
exige . - A expressão
exige que o argumento esteja em ; como , isso impõe , ou seja . - Portanto o domínio natural para a expressão é
. Para aplicar durante a técnica que vamos usar precisamos de , então trabalharemos em .
A pergunta é: qual é(a derivada) para ?
Passo 2
Estratégia escolhida (explicando o porquê de forma simples):
Quando temos uma função do tipo base dependente de elevada a um expoente que também depende de
, a técnica mais direta é a diferenciação logarítmica. A ideia é aplicar
em ambos os lados para transformar a potência em produto, e então diferenciar usando regras conhecidas (regra do produto, regra da cadeia, etc.). Isso evita manipular diretamente a derivada de uma potência com expoente variável.
Quando temos uma função do tipo base dependente de
Passo 3
Aplicando logaritmo natural à função (isso é permitido para
porque
):
Aqui transformamos a potência em produto: o expoente
multiplica
.
Passo 4
Diferenciando ambos os lados em relação a
. À esquerda usamos que
. À direita aplicamos a regra do produto:
Agora vamos calcular cada derivada que aparece no lado direito.
Passo 5
Derivada de
e de
:
- Sabemos que
- Para
usamos a regra da cadeia. Primeiro a derivada de em relação a é . Aqui e . Aplicando a cadeia:
(Observe que usamos
.)
Passo 6
Substituindo essas derivadas na expressão obtida no Passo 4:
Organizando os termos:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Essa é a fórmula da derivada válida para
. (Nas extremidades
ou
é necessário discutir existência de derivada separadamente.)