Questão 1. ( 2,0 pontos) Calcule a derivada das funções definidas a seguir:
\left(0,8\right. ponto) f(x)=x^{\operatorname{arccos} \sqrt{x}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=x^{\operatorname{arccos} \sqrt{x}}.
Informações dadas importantes:
  • A função contém uma potência em que a base e o expoente dependem de x.
  • A expressão \sqrt{x} exige x\ge 0.
  • A expressão \operatorname{arccos}(\cdot) exige que o argumento esteja em [-1,1]; como \sqrt{x}\ge 0, isso impõe \sqrt{x}\le 1, ou seja x\le 1.
  • Portanto o domínio natural para a expressão é 0\le x\le 1. Para aplicar \ln x durante a técnica que vamos usar precisamos de x>0, então trabalharemos em 0<x<1.
    A pergunta é: qual é f'(x) (a derivada) para 0<x<1?

Passo 2

Estratégia escolhida (explicando o porquê de forma simples):
Quando temos uma função do tipo base dependente de x elevada a um expoente que também depende de x, a técnica mais direta é a diferenciação logarítmica. A ideia é aplicar \ln em ambos os lados para transformar a potência em produto, e então diferenciar usando regras conhecidas (regra do produto, regra da cadeia, etc.). Isso evita manipular diretamente a derivada de uma potência com expoente variável.

Passo 3

Aplicando logaritmo natural à função (isso é permitido para x>0 porque x^{\operatorname{arccos}\sqrt{x}}>0):
\ln f(x)=\operatorname{arccos}\bigl(\sqrt{x}\bigr)\cdot \ln x.
Aqui transformamos a potência em produto: o expoente \operatorname{arccos}(\sqrt{x}) multiplica \ln x.

Passo 4

Diferenciando ambos os lados em relação a x. À esquerda usamos que \dfrac{d}{dx}\ln f(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)}. À direita aplicamos a regra do produto:
\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arccos}(\sqrt{x})\bigr)\cdot \ln x + \operatorname{arccos}(\sqrt{x})\cdot \frac{d}{dx}(\ln x).
Agora vamos calcular cada derivada que aparece no lado direito.

Passo 5

Derivada de \ln x e de \operatorname{arccos}(\sqrt{x}):
  • Sabemos que
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}.
  • Para \operatorname{arccos}(\sqrt{x}) usamos a regra da cadeia. Primeiro a derivada de \operatorname{arccos}(u) em relação a u é -\dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}. Aqui u=\sqrt{x}=x^{1/2} e u'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}. Aplicando a cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arccos}(\sqrt{x})\bigr) = -\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^{2}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2\sqrt{x}\,\sqrt{1-x}}.
(Observe que usamos (\sqrt{x})^{2}=x.)

Passo 6

Substituindo essas derivadas na expressão obtida no Passo 4:
\frac{f'(x)}{f(x)} = \left(-\frac{1}{2\sqrt{x}\,\sqrt{1-x}}\right)\ln x + \operatorname{arccos}(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{x}.
Organizando os termos:
\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{\operatorname{arccos}(\sqrt{x})}{x} - \frac{\ln x}{2\sqrt{x}\,\sqrt{1-x}}.

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por f(x)=x^{\operatorname{arccos}\sqrt{x}} para isolar f'(x):
f'(x) = x^{\operatorname{arccos}\sqrt{x}}\left(\frac{\operatorname{arccos}(\sqrt{x})}{x} - \frac{\ln x}{2\sqrt{x}\,\sqrt{1-x}}\right).
Essa é a fórmula da derivada válida para 0<x<1. (Nas extremidades x=0 ou x=1 é necessário discutir existência de derivada separadamente.)

Resposta

f'(x)=x^{\operatorname{arccos}\sqrt{x}}\left(\frac{\operatorname{arccos}(\sqrt{x})}{x}-\frac{\ln x}{2\sqrt{x}\,\sqrt{1-x}}\right)

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