Questão 3. ( 3,0 pontos) Considere a função
f(x)=\frac{2 x^{2}}{x^{2}-1}
(a) ( 0,3 ponto) Determine o seu domínio.
(b) (0,2 ponto ) Determine os pontos em que o gráfico intercepta os eixos x e y.
(c) ( 0,3 ponto) O gráfico dessa função tem assíntotas verticais? E horizontais? Se sim, indique-as.
(d) ( 0,4 ponto) Ela possui candidatos a extremos locais? Se sim, indique-os.
(e) ( 0,4 ponto) Ela possui máximos locais? E mínimos locais? Se sim, indique-os.
(f) ( 0,4 ponto) Ela possuipontos de inflexão? Faça um estudo de sua concavidade.
(g) ( 1,0 ponto) Considerando as respostas dadas aos itens anteriores, esboce o gráfico dessa função.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{2x^{2}}{x^{2}-1}
e pede várias coisas numeradas (a) a (g). Vou listar claramente o que cada item exige e quais informações já temos do enunciado:
(a) Determinar o domínio de f.
(b) Determinar os pontos em que o gráfico intercepta os eixos x e y.
(c) Verificar se existem assíntotas verticais e/ou horizontais e indicar quais são.
(d) Indicar candidatos a extremos locais (pontos críticos).
(e) Dizer quais desses candidatos são máximos locais ou mínimos locais (se houver) e indicar os pontos.
(f) Verificar existência de pontos de inflexão e estudar a concavidade da função.
(g) Com base em tudo acima, esboçar o gráfico (vou descrever como é o gráfico, pois não posso desenhar aqui).
Informações explicitamente dadas: a expressão algébrica de f(x). Não há figura adicional. Vou usar só essa expressão para resolver tudo.

Passo 2

Determinar o domínio: ideia e aplicação aqui.
Regra: o domínio de uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} são todos os x tais que o denominador Q(x) não seja zero. Aqui o denominador é x^{2}-1. Então imponho
x^{2}-1\neq 0.
Resolver x^{2}-1=0 x^{2}=1, portanto x=\pm 1. Logo esses dois valores são proibidos. Conclusão:
\text{domínio}(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1,\\ x\neq 1\},í
ou em notação de conjunto \mathbb{R}\setminus\{\pm 1\}.

Passo 3

Interceptos com os eixos: explicação do que são e cálculo.
  • Intercepto com o eixo y: é o valor de f(x) em x=0, se 0 estiver no domínio. Aqui 0 pertence ao domínio (já que não é \pm1). Calculo:
f(0)=\frac{2\cdot 0^{2}}{0^{2}-1}=\frac{0}{-1}=0.
Logo o ponto de interseção com o eixo y é (0,0).
  • Interceptos com o eixo x: são os x tais que f(x)=0. Para uma fração \dfrac{N(x)}{D(x)} ser zero é preciso que N(x)=0 (e D(x)\neq0). Aqui o numerador é 2x^{2}. Solve:
2x^{2}=0 \Longrightarrow x^{2}=0 \Longrightarrow x=0.
Já verificamos que x=0 está no domínio, então o único intercepto com o eixo x é também (0,0).
Portanto o gráfico intercepta ambos os eixos no ponto (0,0).

Passo 4

Assíntotas verticais: conceito e cálculo.
Conceito breve: uma assíntota vertical em x=a ocorre quando a não está no domínio e os limites laterais \lim_{x\to a^\pm} f(x) divergem para \pm\infty. Aqui os pontos fora do domínio são x=\pm1. Vamos estudar os limites próximos a esses pontos.
Reescrevo o denominador para analisar sinais:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Note que o numerador 2x^{2} é sempre não negativo e, exceto em x=0, é positivo; próximo de x=\pm1 é positivo (próximo de 2).
Análise de sinais e limites:
  • Em x\to 1^{+}: (x-1)>0 pequeno, (x+1)>0 é positivo, então x^{2}-1\to 0^{+}. Numerador \to 2. Assim f(x)\to +\infty.
  • Em x\to 1^{-}: (x-1)<0, (x+1)>0 \Rightarrow x^{2}-1\to 0^{-}. Numerador \to 2. Assim f(x)\to -\infty.
  • Em x\to -1^{+} (chegando por valores maiores que -1): (x+1)>0 pequeno, (x-1)<0 \Rightarrow x^{2}-1\to 0^{-}. Numerador \to 2. Logo f(x)\to -\infty.
  • Em x\to -1^{-}: (x+1)<0 pequeno, (x-1)<0 \Rightarrow x^{2}-1\to 0^{+}. Numerador \to 2. Logo f(x)\to +\infty.
Conclusão: existem assíntotas verticais em x=1 e x=-1.

Passo 5

Assíntotas horizontais: conceito e cálculo.
Conceito: assíntota horizontal em y=L ocorre quando \lim_{x\to\infty}f(x)=L e/ou \lim_{x\to -\infty}f(x)=L. Para funções racionais com mesmos graus no numerador e denominador, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Aqui o numerador tem termo líder 2x^{2} e o denominador tem x^{2}. Portanto:
\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\frac{2}{1}=2.
Ou fazendo a divisão por x^{2}:
f(x)=\frac{2}{1-\frac{1}{x^{2}}}\to\frac{2}{1-0}=2\quad\text{quando }x\to\pm\infty.
Conclusão: há uma assíntota horizontal comum para +\infty e -\infty, dada por y=2.

Passo 6

Candidatos a extremos locais: derivada, cálculo e explicação das regras usadas.
Regra: pontos críticos são pontos do domínio onde f'(x)=0 ou f' não existe. Para máximos/minimos locais precisamos analisar o sinal de f' ou usar o teste da segunda derivada.
Calculo de f'(x) usando a regra do quociente. Se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x)=2x^{2} e v(x)=x^{2}-1. Então u'(x)=4x e v'(x)=2x. Aplicando:
f'(x)=\frac{4x(x^{2}-1)-2x^{2}\cdot 2x}{(x^{2}-1)^{2}} =\frac{4x(x^{2}-1)-4x^{3}}{(x^{2}-1)^{2}}.
Simplifico o numerador:
4x(x^{2}-1)-4x^{3}=4x(x^{2}-1-x^{2})=4x(-1)=-4x.
Portanto, para x\neq\pm1,
f'(x)=\frac{-4x}{(x^{2}-1)^{2}}.
Observações úteis: o denominador (x^{2}-1)^{2} é sempre positivo para todo x\neq\pm1. Assim o sinal de f'(x) é o sinal de -4x, ou seja, oposto ao sinal de x.
Pontos críticos:
  • Onde f'(x)=0: isto ocorre quando o numerador -4x=0, ou seja x=0. E x=0 pertence ao domínio.
  • Onde f' não existe: x=\pm1, mas esses não pertencem ao domínio, então não são candidatos a extremos locais (são assíntotas verticais).
Conclusão do passo: há um único candidato a extremo local em x=0.

Passo 7

Classificação do candidato em x=0: uso do sinal de f' e do teste da segunda derivada (ambos explicados).
Primeiro método (sinal de f'): como já vimos
f'(x)=\frac{-4x}{(x^{2}-1)^{2}}.
  • Para x<0 (em particular em intervalos (- \infty,-1) e (-1,0)) temos x<0\Rightarrow -4x>0 e denominador positivo, então f'(x)>0 (função crescente à esquerda de 0).
  • Para x>0 (em (0,1) e (1,\infty)) temos x>0\Rightarrow -4x<0 então f'(x)<0 (função decrescente à direita de 0).
Como a função cresce antes de 0 e decresce depois de 0, isso caracteriza um máximo local em x=0. O valor da função em 0 é f(0)=0. Assim há um máximo local em (0,0).
Segundo método (teste da segunda derivada) para confirmar: calculo f''(x). A partir de f'(x)=-4x(x^{2}-1)^{-2}, aplico produto/chain rule. O resultado, com contas mostradas abaixo, é
f''(x)=\frac{4(3x^{2}+1)}{(x^{2}-1)^{3}}.
Explicação curta das contas: deriva-se -4x para obter -4 e deriva-se (x^{2}-1)^{-2} por chain rule obtendo -4x(x^{2}-1)^{-3}; somando e colocando sobre o denominador comum chega-se à expressão acima. Note que 3x^{2}+1>0 para todo x, então o sinal de f'' é dado pelo sinal de (x^{2}-1)^{3}.
Em particular, em x=0,
f''(0)=\frac{4(1)}{(-1)^{3}}= -4<0,
o que confirma que x=0 é ponto de máximo local (segunda derivada negativa indica concavidade para baixo e máximo local).
Conclusão: existe um máximo local em (0,0). Não há outro candidato.

Passo 8

Há máximos locais? Há mínimos locais? Resumo e explicação final sobre extremos.
  • Máximos locais: sim, existe um máximo local em (0,0), como demonstrado no passo anterior.
  • Mínimos locais: não existem, pois não há outro ponto crítico no domínio e os pontos onde f' é indefinida ( \pm1) não pertencem ao domínio (são assíntotas verticais), então não há mínimos locais.

Passo 9

Pontos de inflexão e estudo de concavidade: uso de f''(x).
Já obtivemos
f''(x)=\frac{4(3x^{2}+1)}{(x^{2}-1)^{3}}.
Como 3x^{2}+1>0 para todo x, o sinal de f''(x) é o sinal do denominador (x^{2}-1)^{3}. Então:
  • Se |x|>1 então x^{2}-1>0 e (x^{2}-1)^{3}>0 \Rightarrow f''(x)>0. Assim a função é côncava para cima (concavidade positiva) nos intervalos (- \infty, -1) e (1,\infty).
  • Se |x|<1 então x^{2}-1<0 e (x^{2}-1)^{3}<0 \Rightarrow f''(x)<0. Assim a função é côncava para baixo nos intervalos (-1,0) e (0,1).
Pontos de inflexão ocorrem quando a concavidade muda e normalmente quando f''(x)=0 (ou f'' indefinida e há troca de sinal). Aqui f''(x)=0 não ocorre nunca, pois o numerador não zera. Os únicos lugares onde f'' é indefinida são x=\pm1, mas esses pontos não pertencem ao domínio da função (são assíntotas verticais), então não são pontos de inflexão da curva (pontos de inflexão têm de estar no gráfico). Portanto, a concavidade muda ao atravessar os intervalos separados por \pm1, mas não há pontos de inflexão no domínio de f.
Resumo: não existem pontos de inflexão na curva (nenhum x no domínio onde f''(x)=0 ou onde f'' muda de sinal enquanto permanecendo em um ponto do gráfico). A concavidade é:
  • côncava para cima em (- \infty, -1) e (1,\infty);
  • côncava para baixo em (-1,0) e (0,1).

Passo 10

Comportamento global e instruções para esboço (resumo final para desenhar):
Coleto as informações relevantes para montar o esboço do gráfico:
  • Domínio: \mathbb{R}\setminus\{\pm1\}. Há duas assíntotas verticais em x=-1 e x=1.
  • Intercepto: único intercepto com eixos em (0,0); esse ponto é também um máximo local.
  • Monotonicidade: f'(x)>0 para x<0 (função crescente em ambos os intervalos à esquerda de 0: (-\infty,-1) e (-1,0)); f'(x)<0 para x>0 (função decrescente em (0,1) e (1,\infty)). Então a função sobe até (0,0) vindo da esquerda e desce a partir de (0,0) para a direita, em cada ramo separado pelas assíntotas.
  • Assíntota horizontal: y=2 quando x\to\pm\infty.
  • Comportamento próximo às assíntotas (do Passo 4):
    • Em x\to -1^{-}: f(x)\to +\infty.
    • Em x\to -1^{+}: f(x)\to -\infty.
    • Em x\to 1^{-}: f(x)\to -\infty.
    • Em x\to 1^{+}: f(x)\to +\infty.
  • Concavidade: côncava para cima em (- \infty, -1) e (1,\infty); côncava para baixo em (-1,0) e (0,1).
  • Valor em alguns pontos úteis (para posicionar curvas): por exemplo, f(2)=\dfrac{2\cdot 4}{4-1}=\dfrac{8}{3}\approx 2,666 (acima da assíntota y=2); f(-2)=\dfrac{8}{3} também. Já note que para valores grandes x a função se aproxima de 2.
Como desenhar mentalmente / no rascunho: faça três ramos separados pelos retalhos do domínio:
  1. Ramo esquerdo em (-\infty,-1): começa próximo de y=2 quando x\to -\infty (aproxima-se horizontalmente), é côncavo para cima, cresce quando x aumenta até explodir para +\infty ao se aproximar de -1^{-}.
  2. Ramo médio em (-1,1) dividido em (-1,0) e (0,1): entra por +\infty em -1^{+}, é côncavo para baixo até chegar em 0, cruza em (0,0) (máximo local) e depois continua côncavo para baixo até ir a -\infty quando x\to 1^{-}.
  3. Ramo direito em (1,\infty): sai de +\infty em 1^{+}, é côncavo para cima, decresce e aproxima-se de y=2 por baixo quando x\to\infty.
Esses dados permitem um esboço fiel: duas assíntotas verticais x=\pm1, uma assíntota horizontal y=2, máximo local em (0,0), ramos com os sentidos e concavidades descritas.

Resposta

(a) \mathbb{R}\setminus\{\pm 1\}
(b) Interceptos: eixo x: (0,0). eixo y: (0,0).
(c) Assíntotas verticais: x=-1 e x=1. Assíntota horizontal: y=2.
(d) Candidatos a extremos locais: x=0 (único ponto crítico no domínio).
(e) Máximos locais: sim, máximo local em (0,0). Mínimos locais: nenhum.
(f) Pontos de inflexão: nenhum no domínio. Concavidade: côncava para cima em (-\infty,-1) e (1,\infty); côncava para baixo em (-1,0) e (0,1).
(g) Esboço (descrição): três ramos separados por assíntotas verticais x=-1 e x=1. Ramo esquerdo em (-\infty,-1) aproxima-se de y=2 por baixo quando x\to-\infty, cresce e vai a +\infty ao aproximar -1^{-}. Ramo central em (-1,1) vai de +\infty em -1^{+}, é côncavo para baixo, atinge o máximo (0,0) e decresce para -\infty em 1^{-}. Ramo direito em (1,\infty) sai de +\infty em 1^{+}, é côncavo para cima, decresce e aproxima-se de y=2 quando x\to\infty.

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