Questão 3. ( 3,0 pontos) Considere a função
(a) ( 0,3 ponto) Determine o seu domínio.
(b)
ponto
Determine os pontos em que o gráfico intercepta os eixos
e
.
(c) ( 0,3 ponto) O gráfico dessa função tem assíntotas verticais? E horizontais? Se sim, indique-as.
(d) ( 0,4 ponto) Ela possui candidatos a extremos locais? Se sim, indique-os.
(e) ( 0,4 ponto) Ela possui máximos locais? E mínimos locais? Se sim, indique-os.
(f) ( 0,4 ponto) Ela possuipontos de inflexão? Faça um estudo de sua concavidade.
(g) ( 1,0 ponto) Considerando as respostas dadas aos itens anteriores, esboce o gráfico dessa função.
(b)
(c) ( 0,3 ponto) O gráfico dessa função tem assíntotas verticais? E horizontais? Se sim, indique-as.
(d) ( 0,4 ponto) Ela possui candidatos a extremos locais? Se sim, indique-os.
(e) ( 0,4 ponto) Ela possui máximos locais? E mínimos locais? Se sim, indique-os.
(f) ( 0,4 ponto) Ela possuipontos de inflexão? Faça um estudo de sua concavidade.
(g) ( 1,0 ponto) Considerando as respostas dadas aos itens anteriores, esboce o gráfico dessa função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede várias coisas numeradas (a) a (g). Vou listar claramente o que cada item exige e quais informações já temos do enunciado:
(a) Determinar o domínio de
.
(b) Determinar os pontos em que o gráfico intercepta os eixos e
.
(c) Verificar se existem assíntotas verticais e/ou horizontais e indicar quais são.
(d) Indicar candidatos a extremos locais (pontos críticos).
(e) Dizer quais desses candidatos são máximos locais ou mínimos locais (se houver) e indicar os pontos.
(f) Verificar existência de pontos de inflexão e estudar a concavidade da função.
(g) Com base em tudo acima, esboçar o gráfico (vou descrever como é o gráfico, pois não posso desenhar aqui).
(b) Determinar os pontos em que o gráfico intercepta os eixos
(c) Verificar se existem assíntotas verticais e/ou horizontais e indicar quais são.
(d) Indicar candidatos a extremos locais (pontos críticos).
(e) Dizer quais desses candidatos são máximos locais ou mínimos locais (se houver) e indicar os pontos.
(f) Verificar existência de pontos de inflexão e estudar a concavidade da função.
(g) Com base em tudo acima, esboçar o gráfico (vou descrever como é o gráfico, pois não posso desenhar aqui).
Informações explicitamente dadas: a expressão algébrica de
. Não há figura adicional. Vou usar só essa expressão para resolver tudo.
Passo 2
Determinar o domínio: ideia e aplicação aqui.
Regra: o domínio de uma função racional são todos os
tais que o denominador
não seja zero. Aqui o denominador é
. Então imponho
Regra: o domínio de uma função racional
Resolver
dá
, portanto
. Logo esses dois valores são proibidos. Conclusão:
ou em notação de conjunto
.
Passo 3
Interceptos com os eixos: explicação do que são e cálculo.
- Intercepto com o eixo
: é o valor de em , se estiver no domínio. Aqui pertence ao domínio (já que não é ). Calculo:
Logo o ponto de interseção com o eixo
é
.
- Interceptos com o eixo
: são os tais que . Para uma fração ser zero é preciso que (e ). Aqui o numerador é . Solve:
Já verificamos que
está no domínio, então o único intercepto com o eixo
é também
.
Portanto o gráfico intercepta ambos os eixos no ponto
.
Passo 4
Assíntotas verticais: conceito e cálculo.
Conceito breve: uma assíntota vertical em ocorre quando
não está no domínio e os limites laterais
divergem para
. Aqui os pontos fora do domínio são
. Vamos estudar os limites próximos a esses pontos.
Conceito breve: uma assíntota vertical em
Reescrevo o denominador para analisar sinais:
Note que o numerador
é sempre não negativo e, exceto em
, é positivo; próximo de
é positivo (próximo de 2).
Análise de sinais e limites:
-
Em
: pequeno, é positivo, então . Numerador . Assim . -
Em
: , . Numerador . Assim . -
Em
(chegando por valores maiores que ): pequeno, . Numerador . Logo . -
Em
: pequeno, . Numerador . Logo .
Conclusão: existem assíntotas verticais em
e
.
Passo 5
Assíntotas horizontais: conceito e cálculo.
Conceito: assíntota horizontal em ocorre quando
e/ou
. Para funções racionais com mesmos graus no numerador e denominador, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Conceito: assíntota horizontal em
Aqui o numerador tem termo líder
e o denominador tem
. Portanto:
Ou fazendo a divisão por
:
Conclusão: há uma assíntota horizontal comum para
e
, dada por
.
Passo 6
Candidatos a extremos locais: derivada, cálculo e explicação das regras usadas.
Regra: pontos críticos são pontos do domínio onde ou
não existe. Para máximos/minimos locais precisamos analisar o sinal de
ou usar o teste da segunda derivada.
Regra: pontos críticos são pontos do domínio onde
Calculo de
usando a regra do quociente. Se
, então
Aqui
e
. Então
e
. Aplicando:
Simplifico o numerador:
Portanto, para
,
Observações úteis: o denominador
é sempre positivo para todo
. Assim o sinal de
é o sinal de
, ou seja, oposto ao sinal de
.
Pontos críticos:
- Onde
: isto ocorre quando o numerador , ou seja . E pertence ao domínio. - Onde
não existe: , mas esses não pertencem ao domínio, então não são candidatos a extremos locais (são assíntotas verticais).
Conclusão do passo: há um único candidato a extremo local em
.
Passo 7
Classificação do candidato em
: uso do sinal de
e do teste da segunda derivada (ambos explicados).
Primeiro método (sinal de ): como já vimos
Primeiro método (sinal de
- Para
(em particular em intervalos e ) temos e denominador positivo, então (função crescente à esquerda de ). - Para
(em e ) temos então (função decrescente à direita de ).
Como a função cresce antes de
e decresce depois de
, isso caracteriza um máximo local em
. O valor da função em
é
. Assim há um máximo local em
.
Segundo método (teste da segunda derivada) para confirmar: calculo
. A partir de
, aplico produto/chain rule. O resultado, com contas mostradas abaixo, é
Explicação curta das contas: deriva-se
para obter
e deriva-se
por chain rule obtendo
; somando e colocando sobre o denominador comum chega-se à expressão acima. Note que
para todo
, então o sinal de
é dado pelo sinal de
.
Em particular, em
,
o que confirma que
é ponto de máximo local (segunda derivada negativa indica concavidade para baixo e máximo local).
Conclusão: existe um máximo local em
. Não há outro candidato.
Passo 8
Há máximos locais? Há mínimos locais? Resumo e explicação final sobre extremos.
- Máximos locais: sim, existe um máximo local em
, como demonstrado no passo anterior. - Mínimos locais: não existem, pois não há outro ponto crítico no domínio e os pontos onde
é indefinida ( ) não pertencem ao domínio (são assíntotas verticais), então não há mínimos locais.
Passo 9
Pontos de inflexão e estudo de concavidade: uso de
.
Já obtivemos
Já obtivemos
Como
para todo
, o sinal de
é o sinal do denominador
. Então:
- Se
então e . Assim a função é côncava para cima (concavidade positiva) nos intervalos e . - Se
então e . Assim a função é côncava para baixo nos intervalos e .
Pontos de inflexão ocorrem quando a concavidade muda e normalmente quando
(ou
indefinida e há troca de sinal). Aqui
não ocorre nunca, pois o numerador não zera. Os únicos lugares onde
é indefinida são
, mas esses pontos não pertencem ao domínio da função (são assíntotas verticais), então não são pontos de inflexão da curva (pontos de inflexão têm de estar no gráfico). Portanto, a concavidade muda ao atravessar os intervalos separados por
, mas não há pontos de inflexão no domínio de
.
Resumo: não existem pontos de inflexão na curva (nenhum
no domínio onde
ou onde
muda de sinal enquanto permanecendo em um ponto do gráfico). A concavidade é:
- côncava para cima em
e ; - côncava para baixo em
e .
Passo 10
Comportamento global e instruções para esboço (resumo final para desenhar):
Coleto as informações relevantes para montar o esboço do gráfico:
Coleto as informações relevantes para montar o esboço do gráfico:
- Domínio:
. Há duas assíntotas verticais em e . - Intercepto: único intercepto com eixos em
; esse ponto é também um máximo local. - Monotonicidade:
para (função crescente em ambos os intervalos à esquerda de 0: e ); para (função decrescente em e ). Então a função sobe até vindo da esquerda e desce a partir de para a direita, em cada ramo separado pelas assíntotas. - Assíntota horizontal:
quando . - Comportamento próximo às assíntotas (do Passo 4):
- Em
: . - Em
: . - Em
: . - Em
: .
- Em
- Concavidade: côncava para cima em
e ; côncava para baixo em e . - Valor em alguns pontos úteis (para posicionar curvas): por exemplo,
(acima da assíntota ); também. Já note que para valores grandes a função se aproxima de .
Como desenhar mentalmente / no rascunho: faça três ramos separados pelos retalhos do domínio:
- Ramo esquerdo em
: começa próximo de quando (aproxima-se horizontalmente), é côncavo para cima, cresce quando aumenta até explodir para ao se aproximar de . - Ramo médio em
dividido em e : entra por em , é côncavo para baixo até chegar em , cruza em (máximo local) e depois continua côncavo para baixo até ir a quando . - Ramo direito em
: sai de em , é côncavo para cima, decresce e aproxima-se de por baixo quando .
Esses dados permitem um esboço fiel: duas assíntotas verticais
, uma assíntota horizontal
, máximo local em
, ramos com os sentidos e concavidades descritas.
Resposta
(a)
(b) Interceptos: eixo :
. eixo
:
.
(c) Assíntotas verticais: e
. Assíntota horizontal:
.
(d) Candidatos a extremos locais: (único ponto crítico no domínio).
(e) Máximos locais: sim, máximo local em . Mínimos locais: nenhum.
(f) Pontos de inflexão: nenhum no domínio. Concavidade: côncava para cima em e
; côncava para baixo em
e
.
(g) Esboço (descrição): três ramos separados por assíntotas verticais e
. Ramo esquerdo em
aproxima-se de
por baixo quando
, cresce e vai a
ao aproximar
. Ramo central em
vai de
em
, é côncavo para baixo, atinge o máximo
e decresce para
em
. Ramo direito em
sai de
em
, é côncavo para cima, decresce e aproxima-se de
quando
.
(b) Interceptos: eixo
(c) Assíntotas verticais:
(d) Candidatos a extremos locais:
(e) Máximos locais: sim, máximo local em
(f) Pontos de inflexão: nenhum no domínio. Concavidade: côncava para cima em
(g) Esboço (descrição): três ramos separados por assíntotas verticais