Questão 1 ( 3 pontos) Calcule as derivadas parciais:
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para calcular as derivadas parciais da função $ z = (2x + 5y)^8 $. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas parciais, que são usadas para funções com mais de uma variável. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $.
A função é $ z = (2x + 5y)^8 $.
Aplicamos a regra da cadeia:
Calculando a derivada dentro:
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial, ou seja, $ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} $. Isso significa que vamos derivar $ \frac{\partial z}{\partial x} $ em relação a $ y $.
Temos:
Aplicamos novamente a regra da cadeia:
Calculando a derivada dentro:
Então:
Resposta
A segunda derivada parcial é $ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 560(2x + 5y)^6 $.