Questão 1 ( 3 pontos) Calcule as derivadas parciais:
z=(2 x+5 y)^8 ; partial^2 zpartial x partial y ; R=560(2 x+5 y)^6

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para calcular as derivadas parciais da função $ z = (2x + 5y)^8 $. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas parciais, que são usadas para funções com mais de uma variável. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $.
A função é $ z = (2x + 5y)^8 $.
Aplicamos a regra da cadeia:
z
Calculando a derivada dentro:
x
Então:
partial zpartial x

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial, ou seja, $ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} $. Isso significa que vamos derivar $ \frac{\partial z}{\partial x} $ em relação a $ y $.
Temos:
partial^2 zpartial x partial y
Aplicamos novamente a regra da cadeia:
partial zpartial x
Calculando a derivada dentro:
y
Então:
partial zpartial x = 16(2x + 5y)^7

Resposta

A segunda derivada parcial é $ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 560(2x + 5y)^6 $.

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