Questão 1 ( 2,0 pontos). Calcule a distância do ponto D=(1,2,0) até a reta
s:\left\{\begin{array}{l}x+y+z=2 \\\ x+3 y-z=2\end{array}\right.
Dica: d(P, r)=\frac{|\overrightarrow{A P} \times \vec{r}|}{|\vec{r}|}, onde A \in r.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto D=(1,2,0)\) até a reta \(s\) definida pela interseção das equações \[\begin{cases} x+y+z=2,\\\ x+3y-z=2. \end{cases}
Vamos usar a fórmula
d(P,r)=\frac{\bigl|\overrightarrow{AP}\times \vec r\bigr|}{\lvert\vec r\rvert},
onde \vec r\] é o vetor diretor da reta e \(A é um ponto qualquer sobre ela.

Passo 2

Para encontrar \vec r\), resolvemos \[\begin{cases} x+y+z=2,\\\ x+3y-z=2. \end{cases}
Somando as duas equações vem 2x+4y=4\], ou seja \[x+2y=2 e assim x=2-2y. Substituindo em x+y+z=2
(2-2y)+y+z=2\;\Longrightarrow\;z=y.
Tomando t=y, obtemos a parametrização
\begin{cases} x=2-2t,\\\ y=t,\\\ z=t, \end{cases}
logo o vetor diretor é \vec r=(-2,1,1)\] e um ponto de referência (para \(t=0) é A=(2,0,0).

Passo 3

Definimos o vetor de A a D:
\overrightarrow{AD}=D-A=(1,2,0)-(2,0,0)=(-1,2,0).

Passo 4

Calculamos o produto vetorial
\overrightarrow{AD}\times \vec r =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ -1&2&0\\\\ -2&1&1 \end{vmatrix} =(2,1,3),
portanto
\bigl|\overrightarrow{AD}\times \vec r\bigr| =\sqrt{2^2+1^2+3^2} =\sqrt{14}.

Passo 5

O módulo de \vec r é
\lvert\vec r\rvert =\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2} =\sqrt{6}.
Assim a distância é
d=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} =\sqrt{\frac{7}{3}}.

Resposta

\displaystyle \sqrt{\frac{7}{3}}

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