Questão 2 ( 2,0 pontos). Obter a equação reduzida da parábola \frac{1}{3} x^{2}+2 x-y+2=0, o foco, o vértice e a equação da reta diretriz.

Passo 1

O enunciado dá a parábola
\tfrac13x^2 + 2x - y + 2 = 0
e pede a forma reduzida (x-h)^2 = 4p(y-k), o foco, o vértice e a diretriz. Vamos usar completar quadrado para passar à forma canônica e daí extrair (h,k), p, foco (h,k+p) e reta y=k-p.

Passo 2

Multiplicamos a equação por 3 para eliminar o coeficiente fracionário e, em seguida, completamos o quadrado em x:
x^2 + 6x - 3y + 6 = 0
x^2 + 6x + 9 - 9 - 3y + 6 = 0
(x + 3)^2 - 3y - 3 = 0
Isolando y:
(x + 3)^2 = 3y + 3
(x + 3)^2 = 3\,(y + 1).

Passo 3

Comparamos com a forma padrão
(x - h)^2 = 4p\,(y - k).
Aqui \,h = -3, \,k = -1 e 4p = 3, portanto
p = \tfrac34.

Passo 4

  • Vértice: (h,k) = (-3,\,-1).
  • Foco: (h,\,k + p) = \bigl(-3,\,-1 + \tfrac34\bigr) = \bigl(-3,\,-\tfrac14\bigr).
  • Diretriz: y = k - p = -1 - \tfrac34 = -\tfrac74.

Resposta

Equação reduzida:
(x + 3)^2 = 3\,(y + 1)
Vértice: (-3,\,-1)
Foco: \bigl(-3,\,-\tfrac14\bigr)
Diretriz: y = -\tfrac74

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