Questão 3 ( 2,5 pontos). Determine os focos, vértices e a equação reduzida da Elipse, onde o centro é
, eixo maior é parelelo ao
, excentricidade
e passa pelo ponto
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma elipse de centro
, eixo maior paralelo ao eixo
, excentricidade
e que passa por
. Precisamos determinar os focos, os vértices e a equação reduzida dessa elipse.
Passo 2
Escrevemos a forma geral de uma elipse com eixo maior horizontal e centro em
:
onde
e a relação entre os parâmetros é
sendo
a distância do centro a cada foco.
Passo 3
Como a excentricidade é definida por
, segue que
Substituindo em
, obtemos
Aqui
, logo
Passo 4
A elipse passa por
. No sistema de coordenadas centrado em
, temos
e
. Então
Como
, calcula-se
logo
Passo 5
Daí
. Em seguida
logo
. E como
, temos
.
Passo 6
O centro é
e o eixo maior é horizontal. Portanto:
- Focos em
:
e . - Vértices em
:
e .
Resposta
Equação reduzida:
Focos:
e
.
Vértices: e
.
Vértices: