Questão 3 ( 2,5 pontos). Determine os focos, vértices e a equação reduzida da Elipse, onde o centro é C=(5,2), eixo maior é parelelo ao O x, excentricidade e=\frac{2}{3} e passa pelo ponto P=(8, \sqrt{15}+2).

Passo 1

O enunciado nos dá uma elipse de centro C=(5,2), eixo maior paralelo ao eixo x, excentricidade e=\tfrac{2}{3} e que passa por P=(8,\sqrt{15}+2). Precisamos determinar os focos, os vértices e a equação reduzida dessa elipse.

Passo 2

Escrevemos a forma geral de uma elipse com eixo maior horizontal e centro em (h,k):
\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1,
onde a>b>0 e a relação entre os parâmetros é
c^2 = a^2 - b^2,
sendo c a distância do centro a cada foco.

Passo 3

Como a excentricidade é definida por e = \tfrac{c}{a}, segue que
c = e\,a \quad\Longrightarrow\quad c^2 = e^2 a^2.
Substituindo em c^2 = a^2 - b^2, obtemos
b^2 = a^2 - c^2 = a^2 - e^2 a^2 = \bigl(1 - e^2\bigr)\,a^2.
Aqui e^2 = \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^2 = \tfrac{4}{9}, logo
b^2 = \bigl(1 - \tfrac{4}{9}\bigr)a^2 = \tfrac{5}{9}\,a^2.

Passo 4

A elipse passa por P=(8,\sqrt{15}+2). No sistema de coordenadas centrado em (5,2), temos x-5=3 e y-2=\sqrt{15}. Então
\frac{(8-5)^2}{a^2} + \frac{(\sqrt{15})^2}{b^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{9}{a^2} + \frac{15}{b^2} = 1.
Como b^2 = \tfrac{5}{9}a^2, calcula-se
\frac{15}{b^2} = \frac{15}{\tfrac{5}{9}a^2} = \frac{27}{a^2},
logo
\frac{9}{a^2} + \frac{27}{a^2} = \frac{36}{a^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 36.

Passo 5

Daí a = 6. Em seguida
b^2 = \tfrac{5}{9}\,a^2 = \tfrac{5}{9}\times 36 = 20,
logo b = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}. E como c = e\,a = \tfrac{2}{3}\times 6 = 4, temos c=4.

Passo 6

O centro é (h,k)=(5,2) e o eixo maior é horizontal. Portanto:
  • Focos em \bigl(h\pm c,\;k\bigr):
    (5+4,2)=(9,2) e (5-4,2)=(1,2).
  • Vértices em \bigl(h\pm a,\;k\bigr):
    (5+6,2)=(11,2) e (5-6,2)=(-1,2).

Resposta

Equação reduzida:
\frac{(x-5)^2}{36} + \frac{(y-2)^2}{20} = 1.
Focos: (9,2) e (1,2).
Vértices: (11,2) e (-1,2).

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