Questão 4 ( 2,5 pontos). Determine as integrais definidas abaixo:
\int_{2}^{4} \frac{2}{x^{2}-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{2}^{4} \frac{2}{x^{2}-1}\,dx.
Informações relevantes que temos:
  • O integrando é a função racional \frac{2}{x^{2}-1}.
  • O denominador pode ser fatorado como (x-1)(x+1).
  • Há singularidades em x=1 e x=-1, mas como o intervalo de integração é [2,4], nenhuma dessas singularidades está dentro do intervalo, logo a função é contínua em [2,4] e podemos usar primitiva para avaliar a integral definida.

Passo 2

Vamos decompor a função racional em frações parciais. Escrevo
\frac{2}{x^{2}-1}=\frac{2}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1},
onde A e B são constantes a determinar. A ideia das frações parciais é escrever uma função racional simples como soma de termos mais fáceis de integrar (cada termo será do tipo 1/(x-a)).

Passo 3

Multiplico ambos os lados por (x-1)(x+1)\) para eliminar denominadores: \[2 = A(x+1)+B(x-1).
Agora organizo o lado direito agrupando os termos em x e os termos constantes:
2 = (A+B)x + (A-B).
Comparando coeficientes (já que a igualdade vale para todo x), obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] A-B=2. \end{cases}
Somando as duas equações dá 2A=2\], portanto \(A=1. Substituindo em A+B=0 obtemos B=-1.]

Passo 4

Com A=1 e B=-1 reescrevo o integrando:
\frac{2}{x^{2}-1}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}.
Então a integral fica
\int_{2}^{4}\frac{2}{x^{2}-1}\,dx=\int_{2}^{4}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)dx.
Usei aqui a linearidade da integral (a integral da soma/diferença é a soma/diferença das integrais).

Passo 5

Conhecemos a primitiva básica
\int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C,
onde o valor absoluto aparece porque o logaritmo natural \ln exige argumento positivo; a primitiva é válida para x\neq a. Aplicando isso aos dois termos, uma primitiva da função integranda é
F(x)=\ln|x-1|-\ln|x+1|.
Observação: no nosso intervalo de integração [2,4] temos x-1>0 e x+1>0, então podemos retirar os valores absolutos se quisermos, mas manterei as barras para ser rigoroso.

Passo 6

Agora aplico o teorema fundamental do cálculo: a integral definida é F(4)-F(2).
Calculo F(4) e F(2):
F(4)=\ln|4-1|-\ln|4+1|=\ln 3 - \ln 5=\ln\!\left(\frac{3}{5}\right),
F(2)=\ln|2-1|-\ln|2+1|=\ln 1 - \ln 3=0 - \ln 3 = -\ln 3.
Subtraindo:
\int_{2}^{4}\frac{2}{x^{2}-1}\,dx = F(4)-F(2)=\ln\!\left(\frac{3}{5}\right) - (-\ln 3) = \ln\!\left(\frac{3}{5}\right)+\ln 3.
Usando a propriedade dos logaritmos \ln a + \ln b = \ln(ab), obtemos
\ln\!\left(\frac{3}{5}\right)+\ln 3 = \ln\!\left(\frac{3}{5}\cdot 3\right)=\ln\!\left(\frac{9}{5}\right).

Resposta

\ln\!\left(\dfrac{9}{5}\right)

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