Questão 4 ( 2,5 pontos). Determine as integrais definidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações relevantes que temos:
- O integrando é a função racional
. - O denominador pode ser fatorado como
. - Há singularidades em
e , mas como o intervalo de integração é , nenhuma dessas singularidades está dentro do intervalo, logo a função é contínua em e podemos usar primitiva para avaliar a integral definida.
Passo 2
Vamos decompor a função racional em frações parciais. Escrevo
onde
e
são constantes a determinar. A ideia das frações parciais é escrever uma função racional simples como soma de termos mais fáceis de integrar (cada termo será do tipo
).
Passo 3
Multiplico ambos os lados por
Agora organizo o lado direito agrupando os termos em
e os termos constantes:
Comparando coeficientes (já que a igualdade vale para todo
), obtemos o sistema
Somando as duas equações dá
. Substituindo em
obtemos
.]
Passo 4
Com
e
reescrevo o integrando:
Então a integral fica
Usei aqui a linearidade da integral (a integral da soma/diferença é a soma/diferença das integrais).
Passo 5
Conhecemos a primitiva básica
onde o valor absoluto aparece porque o logaritmo natural
exige argumento positivo; a primitiva é válida para
. Aplicando isso aos dois termos, uma primitiva da função integranda é
Observação: no nosso intervalo de integração
temos
e
, então podemos retirar os valores absolutos se quisermos, mas manterei as barras para ser rigoroso.
Passo 6
Agora aplico o teorema fundamental do cálculo: a integral definida é
.
Calculo e
:
Calculo
Subtraindo:
Usando a propriedade dos logaritmos
, obtemos