Questão 4 (2,0 - pontos) Calcule as integrais indefinidas das seguintes funções:
(a) (1,0 - ponto) \int\left(5 x^{4}+6 x^{2}+\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função
5x^{4} + 6x^{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}}
Estamos no conteúdo de integração elementar, usando principalmente a regra da potência e a linearidade da integral.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos o termo com raiz em forma de potência. Como \sqrt{x}=x^{1/2}, temos
\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2}\,x^{-1/2}.

Passo 3

Usando a linearidade da integral, separamos
\int\Bigl(5x^{4} + 6x^{2} + \tfrac12\,x^{-1/2}\Bigr)\,dx = \int 5x^{4}\,dx \;+\;\int 6x^{2}\,dx \;+\;\int \tfrac12\,x^{-1/2}\,dx.

Passo 4

Aplicamos a regra da potência \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} em cada termo:
\int 5x^{4}\,dx = 5\cdot\frac{x^{5}}{5} = x^{5}, \qquad \int 6x^{2}\,dx = 6\cdot\frac{x^{3}}{3} = 2x^{3}.

Passo 5

Para o último termo,
\int \tfrac12\,x^{-1/2}\,dx = \tfrac12\cdot\frac{x^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1} = \tfrac12\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2} = x^{1/2}.

Passo 6

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
x^{5} + 2x^{3} + x^{1/2} + C.

Resposta

\int\Bigl(5x^{4} + 6x^{2} + \tfrac{1}{2\sqrt{x}}\Bigr)\,dx = x^{5} + 2x^{3} + \sqrt{x} + C.

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