Questão 3 (2,0 - pontos) Calcule y^{\prime} das seguintes alternativas:
(a) (1,0 - ponto) Para y=\operatorname{tg}(x), use o fato de que \operatorname{tg}(x)=\operatorname{sen}(x) / \cos (x) e a regra do quociente.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=\tan(x) usando que \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} e aplicando a regra do quociente. Vamos então escrever y como quociente de duas funções e usar a fórmula
\Bigl(\tfrac{u}{v}\Bigr)'=\frac{u'v - u\,v'}{v^2}.

Passo 2

Identificamos
u(x)=\sin(x),\quad u'(x)=\cos(x),
v(x)=\cos(x),\quad v'(x)=-\sin(x).
Substituindo na regra do quociente:
y'=\frac{\cos(x)\cdot \cos(x)\;-\;\sin(x)\cdot(-\sin(x))}{\cos^2(x)}.

Passo 3

Calculamos o numerador:
\cos(x)\cos(x)+\sin(x)\sin(x)=\cos^2(x)+\sin^2(x)=1.
Logo
y'=\frac{1}{\cos^2(x)}.

Passo 4

Reconhecemos que \frac{1}{\cos^2(x)}=\operatorname{sec}^2(x). Portanto,
y'=\operatorname{sec}^2(x).

Resposta

y'=\operatorname{sec}^2(x)

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