Questão 3 (2,0 - pontos) Calcule y^{\prime} das seguintes alternativas:
(b) (1,0 - ponto) Para y=\operatorname{sec} (x), use o fato de que \operatorname{sec} (x)=1 / \cos (x) e a regra do quociente.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=\operatorname{sec}(x) usando que \operatorname{sec}(x)=1/\cos(x) e aplicando a regra do quociente. O conteúdo aqui é derivação de funções trigonométricas e uso da regra do quociente.

Passo 2

Escrevemos
y = \frac{u(x)}{v(x)},
onde u(x)=1 e v(x)=\cos(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=0, \qquad v'(x) = -\sin(x).

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente, que diz
y' = \frac{u'v - u\,v'}{v^2}.
Substituindo u, u', v e v':
y' = \frac{0\cdot\cos(x) - 1\cdot(-\sin(x))}{\cos^2(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}.

Passo 5

Para reescrever em termos de \operatorname{sec} e \tan, note que
\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos(x)}\cdot\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \operatorname{sec}(x)\,\tan(x).

Resposta

y' = \operatorname{sec}(x)\,\tan(x).

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