Questão 2. ( 2,5 pontos). Use a regra da substituição para provar que
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
e pede que se prove que ela é igual a
. Informações relevantes fornecidas:
- A expressão dentro do integrando é
dividida por . - A variável de integração é
. - A solução pedida é
. - Observação sobre domínio:
está definida para , então a integral faz sentido (pelo menos) para .
Passo 2
Ideia do método da substituição (explicação didática).
- Quando vemos uma função composta como
e percebemos que a derivada de é , isso sugere usar a substituição
- Regra geral da substituição: se
e , então
- Aqui, a presença de
é exatamente o quando . Por isso essa escolha simplifica muito a integral.
Passo 3
Fazer a substituição explicitamente.
- Defina
- Calcule o diferencial
:
- Daí obtemos que
- Substituindo na integral original, trocando
por e por , fica
Passo 4
Calcular a integral em
.
- Conhecimento básico: a primitiva de
em relação a é , porque a derivada de é . - Portanto,
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltar à variável original
.
- Substituindo
de volta, obtemos
- Concluímos que
válido para
.
Passo 6
Verificação rápida (cheque por derivação).
- Para ter certeza, derivamos a solução obtida usando a regra da cadeia:
que é exatamente o integrando. Isso confirma que a primitiva está correta.