Questão 2. ( 2,5 pontos). Use a regra da substituição para provar que
\int \frac{\cos (\ln x)}{x} d x=\operatorname{sen}(\ln x)+C

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int \frac{\cos(\ln x)}{x}\,dx
e pede que se prove que ela é igual a \operatorname{sen}(\ln x)+C. Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão dentro do integrando é \cos(\ln x) dividida por x.
  • A variável de integração é x.
  • A solução pedida é \operatorname{sen}(\ln x)+C.
  • Observação sobre domínio: \ln x está definida para x>0, então a integral faz sentido (pelo menos) para x>0.

Passo 2

Ideia do método da substituição (explicação didática).
  • Quando vemos uma função composta como \cos(\ln x) e percebemos que a derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}, isso sugere usar a substituição
u = \ln x.
  • Regra geral da substituição: se u=g(x) e du=g'(x)\,dx, então
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\int f(u)\,du.
  • Aqui, a presença de \dfrac{1}{x}\,dx é exatamente o du quando u=\ln x. Por isso essa escolha simplifica muito a integral.

Passo 3

Fazer a substituição explicitamente.
  • Defina
u=\ln x.
  • Calcule o diferencial du:
du=\frac{1}{x}\,dx.
  • Daí obtemos que
\frac{1}{x}\,dx = du.
  • Substituindo na integral original, trocando \ln x por u e \dfrac{1}{x}\,dx por du, fica
\int \frac{\cos(\ln x)}{x}\,dx = \int \cos(u)\,du.

Passo 4

Calcular a integral em u.
  • Conhecimento básico: a primitiva de \cos(u) em relação a u é \operatorname{sen}(u), porque a derivada de \operatorname{sen}(u) é \cos(u).
  • Portanto,
\int \cos(u)\,du = \operatorname{sen}(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar à variável original x.
  • Substituindo u=\ln x de volta, obtemos
\operatorname{sen}(u)+C = \operatorname{sen}(\ln x)+C.
  • Concluímos que
\int \frac{\cos(\ln x)}{x}\,dx = \operatorname{sen}(\ln x)+C,
válido para x>0.

Passo 6

Verificação rápida (cheque por derivação).
  • Para ter certeza, derivamos a solução obtida usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(\ln x)\big)=\cos(\ln x)\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=\cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x}=\frac{\cos(\ln x)}{x},
que é exatamente o integrando. Isso confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\operatorname{sen}(\ln x)+C

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