Questão 1 ( 6,0 pontos). Calcule as integrais:
\int e^{-x} \cos (x+2) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int e^{-x}\cos(x+2)\,dx,
que envolve produto de exponencial e função trigonométrica. Para resolvê-la, vamos usar mudança de variável para eliminar o “ +2” dentro do cosseno e, em seguida, empregar a fórmula conhecida de integração de e^{at}\cos(bt).

Passo 2

Faça a substituição
t = x + 2,\quad dt = dx,\quad x = t - 2,
de modo que
e^{-x} = e^{-(t-2)} = e^2\,e^{-t}.
Assim, a integral torna-se
\int e^{-x}\cos(x+2)\,dx = e^2 \int e^{-t}\cos t\,dt.

Passo 3

Usamos a fórmula
\int e^{at}\cos(bt)\,dt = \frac{e^{at}}{a^2+b^2}\bigl(a\cos(bt)+b\sin(bt)\bigr)+C.
Aqui a=-1 e b=1, logo
\int e^{-t}\cos t\,dt = \frac{e^{-t}}{(-1)^2+1^2}\bigl((-1)\cos t + 1\sin t\bigr) = \frac{e^{-t}}{2}\bigl(\sin t - \cos t\bigr)+K.

Passo 4

Voltando a x, temos
\int e^{-x}\cos(x+2)\,dx = e^2\cdot\frac{e^{-t}}{2}\bigl(\sin t - \cos t\bigr)+C = \frac{e^{-x}}{2}\bigl(\sin(x+2)-\cos(x+2)\bigr)+C.

Resposta

\int e^{-x}\cos(x+2)\,dx = \frac{e^{-x}}{2}\bigl(\sin(x+2)-\cos(x+2)\bigr)+C.

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