Questão 1 ( 6,0 pontos). Calcule as integrais:
\int_{0}^{2} x \cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{2} x \cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo principal é a técnica de substituição em integrais definidas, pois reconhecemos que a derivada de x^{2} aparece junto de x\,dx.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}, \qquad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Alteramos também os limites de integração: quando x=0, u=0^{2}=0; quando x=2, u=2^{2}=4. Assim, a integral torna-se
\int_{0}^{2} x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int_{u=0}^{u=4} \cos(u)\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{4}\cos(u)\,du.

Passo 4

Agora, integramos em u:
\frac{1}{2}\int_{0}^{4}\cos(u)\,du = \frac{1}{2}\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{4} = \frac{1}{2}\bigl(\sin(4)-\sin(0)\bigr) = \frac{1}{2}\sin(4).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\sin(4)

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