Questāo 3 ( 2 pontos): Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações e observações úteis dadas pelo enunciado:
- A integral é uma soma de dois termos, então pela linearidade das integrais vale
- As integrais dos dois termos podem ser tratadas separadamente.
- A variável de integração é
.
Passo 2
Escolha do método para cada termo (explicando por que):
- Para
: reparamos que é exatamente a diferencial de . Isso sugere usar a substituição (também chamada de substituição simples ou método do “u-substitution”), que transforma uma função composta em uma integral em com potência simples. - Para
: esse é um produto entre uma função polinomial e uma trigonométrica . O método padrão para esse tipo é a integração por partes, cuja fórmula é Explico e aplico a seguir.
Passo 3
Resolver
por substituição.
- Faça a substituição
. Então a diferencial é . - A integral em
transforma-se em integral em : - Calcule
. Usando a regra de potência para integrais, - Volte à variável
substituindo :
Breve explicação da ideia usada: a substituição
funciona porque a derivada de
é
, então o fator
cede lugar a
, simplificando a integral de uma potência de seno para uma potência simples de
.
Passo 4
Resolver
por integração por partes.
- Escolha as funções para a fórmula
. Uma escolha natural é porque derivando obtemos (mais simples) e integrando obtemos . - Calcule
e : - Aplique a fórmula:
- Calcule
: - Portanto
Explicação rápida da escolha: escolher
faz com que
seja simples (
), e escolher
dá
, que é fácil de manipular; essa combinação costuma simplificar integrais do tipo polinômio vezes função trigonométrica.
Passo 5
Somar as primitivas obtidas para cada termo e reunir a constante de integração.
- Das etapas anteriores temos
- Somando e juntando as constantes (
é apenas uma constante arbitrária ), obtemos uma primitiva da integral original:
Passo 6
Verificação rápida por derivação (para ganhar confiança):
- Derivando
: pela regra da cadeia, - Derivando
(produto): - Derivando
: - Somando as derivadas:
que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.