Questāo 3 ( 2 pontos): Calcule a integral:
\int\left(\sin ^{3} x \cos x+x \cos x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(\sin^{3}x\cos x + x\cos x\right)\,dx.
Informações e observações úteis dadas pelo enunciado:
  • A integral é uma soma de dois termos, então pela linearidade das integrais vale \int\left(\sin^{3}x\cos x + x\cos x\right)\,dx = \int \sin^{3}x\cos x\,dx + \int x\cos x\,dx.
  • As integrais dos dois termos podem ser tratadas separadamente.
  • A variável de integração é x.

Passo 2

Escolha do método para cada termo (explicando por que):
  • Para \int \sin^{3}x\cos x\,dx: reparamos que \cos x\,dx é exatamente a diferencial de \sin x. Isso sugere usar a substituição u=\sin x (também chamada de substituição simples ou método do “u-substitution”), que transforma uma função composta em uma integral em u com potência simples.
  • Para \int x\cos x\,dx: esse é um produto entre uma função polinomial x e uma trigonométrica \cos x. O método padrão para esse tipo é a integração por partes, cuja fórmula é \int u\,dv = u v - \int v\,du.Explico e aplico a seguir.

Passo 3

Resolver \int \sin^{3}x\cos x\,dx por substituição.
  • Faça a substituição u=\sin x. Então a diferencial é du=\cos x\,dx.
  • A integral em x transforma-se em integral em u: \int \sin^{3}x\cos x\,dx = \int u^{3}\,du.
  • Calcule \int u^{3}\,du. Usando a regra de potência para integrais, \int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4} + C_1.
  • Volte à variável x substituindo u=\sin x: \int \sin^{3}x\cos x\,dx = \frac{\sin^{4}x}{4} + C_1.
Breve explicação da ideia usada: a substituição u=\sin x funciona porque a derivada de \sin x é \cos x, então o fator \cos x\,dx cede lugar a du, simplificando a integral de uma potência de seno para uma potência simples de u.

Passo 4

Resolver \int x\cos x\,dx por integração por partes.
  • Escolha as funções para a fórmula \int u\,dv = u v - \int v\,du. Uma escolha natural é u = x,\qquad dv = \cos x\,dx,porque derivando u obtemos du=dx (mais simples) e integrando dv obtemos v=\sin x.
  • Calcule v e du: du = dx,\qquad v = \int \cos x\,dx = \sin x.
  • Aplique a fórmula: \int x\cos x\,dx = u v - \int v\,du = x\sin x - \int \sin x\,dx.
  • Calcule \int \sin x\,dx: \int \sin x\,dx = -\cos x + C_2.
  • Portanto \int x\cos x\,dx = x\sin x - \bigl(-\cos x\bigr) + C_2 = x\sin x + \cos x + C_2.
Explicação rápida da escolha: escolher u=x faz com que du seja simples ( dx), e escolher dv=\cos x\,dx v=\sin x, que é fácil de manipular; essa combinação costuma simplificar integrais do tipo polinômio vezes função trigonométrica.

Passo 5

Somar as primitivas obtidas para cada termo e reunir a constante de integração.
  • Das etapas anteriores temos \int \sin^{3}x\cos x\,dx = \frac{\sin^{4}x}{4} + C_1, \qquad \int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C_2.
  • Somando e juntando as constantes ( C_1+C_2 é apenas uma constante arbitrária C), obtemos uma primitiva da integral original: \frac{\sin^{4}x}{4} + x\sin x + \cos x + C.

Passo 6

Verificação rápida por derivação (para ganhar confiança):
  • Derivando \frac{\sin^{4}x}{4}: pela regra da cadeia, \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin^{4}x}{4}\right) = \frac{1}{4}\cdot 4\sin^{3}x\cdot\cos x = \sin^{3}x\cos x.
  • Derivando x\sin x (produto): \frac{d}{dx}(x\sin x) = \sin x + x\cos x.
  • Derivando \cos x: \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x.
  • Somando as derivadas: \sin^{3}x\cos x + (\sin x + x\cos x) + (-\sin x) = \sin^{3}x\cos x + x\cos x,que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\frac{\sin^{4}x}{4} + x\sin x + \cos x + C

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