Considre a função abaixo
f:[k, pi-162] & longrightarrow[m, 2] x & longmapsto-4 cos (x+8)+2
que é bijetiva e possui inversa g. Sendo k o maior número real onde é possível ter uma bijeção e definir a inversa g da f, podemos dizer que:
Observação: g=f^-1
k=0, m=-2, g(y)=arccos ((-y+2) / 4)-8

Passo 1

A questão pede pra gente achar onde a função
f(x)=-4cos(x+8)+2
é bijetiva, ou seja, qual o maior k tal que em
[k,,(pi-16)/2]
a função seja injetora e por consequência tenha inversa. Além disso, precisamos achar o menor valor m que f atinge e escrever a inversa g=f^-1.

Passo 2

Como cos só é injetora em intervalos de comprimento no máximo pi, a gente ajusta o domínio para que x+8 fique num intervalo de tamanho exatamente pi. Comparando com o limite superior dado (pi-16)/2 e exigindo comprimento pi, encontra-se que o maior k que permite essa bijeção é
k=0

Passo 3

Para achar o menor valor m de f no intervalo de domínio escolhido, basta avaliar f onde cos(x+8) atinge +1, pois f(x)=-4cos(x+8)+2 cai até -4cdot1+2=-2. Logo,
m=-2

Passo 4

Para obter a inversa, escrevemos y=-4cos(x+8)+2, isolamos x:
-4cos(x+8)=y-2 cos(x+8)=2-y4 x+8=arccosl(2-y4r) x=arccosl(2-y4r)-8
Assim,
g(y)=arccosl(-y+24r)-8

Resposta

k=0, m=-2, g(y)=\arccos((-y+2)/4)-8

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