Questão 1 (1,0 ponto) Esboce a região de integração e troque a ordem das integrais iteradas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar a região de integração e trocar a ordem das integrais. Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas, que é uma parte da matéria de Cálculo Integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como a região está definida e como podemos reescrever os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites da integral original:
Aqui, o
varia de 0 a 2, e para cada
, o
varia de
a 4. Vamos desenhar isso no plano
.
Passo 3
No gráfico, plotamos
a
. Para cada
nesse intervalo,
começa em
e vai até
. A curva
é uma parábola que abre para cima. Então, a região de integração está entre a parábola
e a linha horizontal
, de
a
.
Passo 4
Agora, para trocar a ordem das integrais, precisamos expressar
em termos de
. Observando a curva
, podemos resolver para
:
Assim, para um dado
,
varia de 0 a
. E
varia de 0 (no ponto mais baixo da parábola) até 4.
Passo 5
Com isso, a nova ordem das integrais fica:
Agora, a integral externa é em relação a
de 0 a 4, e a interna é em relação a
de 0 a
.
Resposta
A ordem das integrais trocada é: