Questão 1 (1,0 ponto) Esboce a região de integração e troque a ordem das integrais iteradas.
I=integral0^2 integralx^2^4 x sen y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar a região de integração e trocar a ordem das integrais. Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas, que é uma parte da matéria de Cálculo Integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como a região está definida e como podemos reescrever os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites da integral original:
I = integral0^2 integralx^2^4 x sen y^2 , dy , dx
Aqui, o x varia de 0 a 2, e para cada x, o y varia de x^2 a 4. Vamos desenhar isso no plano xy.

Passo 3

No gráfico, plotamos x = 0 a x = 2. Para cada x nesse intervalo, y começa em y = x^2 e vai até y = 4. A curva y = x^2 é uma parábola que abre para cima. Então, a região de integração está entre a parábola y = x^2 e a linha horizontal y = 4, de x = 0 a x = 2.

Passo 4

Agora, para trocar a ordem das integrais, precisamos expressar x em termos de y. Observando a curva y = x^2, podemos resolver para x:
x = raizy
Assim, para um dado y, x varia de 0 a raizy. E y varia de 0 (no ponto mais baixo da parábola) até 4.

Passo 5

Com isso, a nova ordem das integrais fica:
I = integral0^4 integral0^raizy x sen y^2 , dx , dy
Agora, a integral externa é em relação a y de 0 a 4, e a interna é em relação a x de 0 a raizy.

Resposta

A ordem das integrais trocada é:
I = integral0^4 integral0^raizy x sen y^2 , dx , dy

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