Questão 4.

(2, 0 pontos) Considere a função
f(x)=cc a x+4 & se x<-1 a x^2-x & x >=-1
a) Determine o valor de a in R que torna a função f contínua em x=-1
b) Faça um esboço do gráfico de f considerando o valor a encontrado no item anterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função definida por partes:
f(x) = a x + 4 & se x < -1 a x^2 - x & se x >= -1
O conteúdo aqui envolve continuidade de funções, que é quando o gráfico da função não tem “saltos” ou “interrupções”. Para garantir que a função seja contínua em $ x = -1 $, precisamos ajustar o valor de $ a $ de tal forma que os valores das duas partes da função se encontrem exatamente nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa continuidade. Para a função ser contínua em $ x = -1 $, o limite da função quando $ x $ se aproxima de -1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando $ x $ se aproxima de -1 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em $ x = -1 $.
Matematicamente, isso é:
x = -1

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando $ x $ se aproxima de -1 e $ x < -1 $. Nesse caso, usamos a primeira parte da função:
x

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita, quando $ x $ se aproxima de -1 e $ x \geq -1 $. Aqui, usamos a segunda parte da função:
x

Passo 5

Para a continuidade, esses dois limites devem ser iguais:
-a + 4 = a + 1
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ a $.

Passo 6

Resolvendo a equação:
-a + 4 = a + 1 4 - 1 = a + a 3 = 2a a = 32

Passo 7

Agora, vamos fazer um esboço do gráfico de $ f $ usando $ a = \frac{3}{2} $.
Primeiro, substituímos $ a $ na função:
f
Vamos analisar cada parte:
  1. Para $ x < -1 $: $ f(x) = \frac{3}{2} x + 4 $ é uma reta.
  2. Para $ x \geq -1 $: $ f(x) = \frac{3}{2} x^{2} - x $ é uma parábola.

Resposta

Com $ a = \frac{3}{2} $, o gráfico de $ f $ consiste de uma reta que se junta suavemente com uma parábola no ponto $ x = -1 $, garantindo que não haja saltos ou interrupções na função.

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