Questão 4.
(2, 0 pontos) Considere a função
a) Determine o valor de
que torna a função
contínua em
b) Faça um esboço do gráfico de
considerando o valor
encontrado no item anterior.
b) Faça um esboço do gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função definida por partes:
O conteúdo aqui envolve continuidade de funções, que é quando o gráfico da função não tem “saltos” ou “interrupções”. Para garantir que a função seja contínua em $ x = -1 $, precisamos ajustar o valor de $ a $ de tal forma que os valores das duas partes da função se encontrem exatamente nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa continuidade. Para a função ser contínua em $ x = -1 $, o limite da função quando $ x $ se aproxima de -1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando $ x $ se aproxima de -1 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em $ x = -1 $.
Matematicamente, isso é:
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando $ x $ se aproxima de -1 e $ x < -1 $. Nesse caso, usamos a primeira parte da função:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela direita, quando $ x $ se aproxima de -1 e $ x \geq -1 $. Aqui, usamos a segunda parte da função:
Passo 5
Para a continuidade, esses dois limites devem ser iguais:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ a $.
Passo 6
Resolvendo a equação:
Passo 7
Agora, vamos fazer um esboço do gráfico de $ f $ usando $ a = \frac{3}{2} $.
Primeiro, substituímos $ a $ na função:
Vamos analisar cada parte:
- Para $ x < -1 $: $ f(x) = \frac{3}{2} x + 4 $ é uma reta.
- Para $ x \geq -1 $: $ f(x) = \frac{3}{2} x^{2} - x $ é uma parábola.
Resposta
Com $ a = \frac{3}{2} $, o gráfico de $ f $ consiste de uma reta que se junta suavemente com uma parábola no ponto $ x = -1 $, garantindo que não haja saltos ou interrupções na função.