Questão 4 (2,0 Pontos). Calcule a integral indefinida. Sugestão: separe
, utilize uma das relações úteis fornecida e depois faça uma substituição de variável.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e pedido: temos o integrando
(ou seja,
) e precisamos encontrar uma primitiva (a integral indefinida), incluindo a constante de integração.
Passo 2
Observação sobre a estratégia (sem resolver ainda): quando uma integral trigonométrica tem uma potência ímpar de
(ou de
) e a outra função tem potência par, uma técnica eficiente é separar um fator
(ou
) para usar como
numa substituição, e reescrever o resto usando a identidade pitagórica
Aqui temos
. Como a potência de
é par (
), é natural guardar um fator
para a substituição e reescrever
em função de
.
Passo 3
Separe um fator
e reescreva
usando
:
Portanto a integral fica
Passo 4
Faça a substituição conveniente. Tome
Então derivando ambos os lados vem
Essa escolha é natural porque já isolamos
no integrando e o resto está em potências de
.
Passo 5
Substitua na integral usando
e
:
Tire o sinal negativo para fora:
Passo 6
Expanda o polinômio para integrar termo a termo. Primeiro expandindo
:
Multiplicando por
dá
Logo a integral em
é
Passo 7
Integre termo a termo usando a regra básica
:
Distribuindo o sinal negativo:
Passo 8
Volte à variável original com
. Substituindo obtemos a primitiva em termos de
:
Podemos verificar grosseiramente que diferenciar esse resultado usando a regra da cadeia produziria termos em
combinados exatamente como no integrando original, o que dá confiança na correção.