Questão 4 (2,0 Pontos). Calcule a integral indefinida. Sugestão: separe \operatorname{sen} x, utilize uma das relações úteis fornecida e depois faça uma substituição de variável.
\int \operatorname{sen}^{5} x \cdot \cos ^{10} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{5} x \cdot \cos^{10} x \, dx.
Informações dadas e pedido: temos o integrando \operatorname{sen}^{5} x \cdot \cos^{10} x (ou seja, \sin^{5}x\cos^{10}x) e precisamos encontrar uma primitiva (a integral indefinida), incluindo a constante de integração.

Passo 2

Observação sobre a estratégia (sem resolver ainda): quando uma integral trigonométrica tem uma potência ímpar de \sin x (ou de \cos x) e a outra função tem potência par, uma técnica eficiente é separar um fator \sin x (ou \cos x) para usar como du numa substituição, e reescrever o resto usando a identidade pitagórica
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1.
Aqui temos \sin^{5}x=\sin^{4}x\cdot\sin x=(\sin^{2}x)^{2}\sin x. Como a potência de \cos x é par ( 10), é natural guardar um fator \sin x\,dx para a substituição e reescrever \sin^{2}x em função de \cos^{2}x.

Passo 3

Separe um fator \sin x e reescreva \sin^{4}x usando \sin^{2}x=1-\cos^{2}x:
\sin^{5}x\cos^{10}x=\big(\sin^{2}x\big)^{2}\sin x\cos^{10}x =\big(1-\cos^{2}x\big)^{2}\sin x\cos^{10}x.
Portanto a integral fica
\int \sin^{5}x\cos^{10}x\,dx =\int \big(1-\cos^{2}x\big)^{2}\cos^{10}x\sin x\,dx.

Passo 4

Faça a substituição conveniente. Tome
u=\cos x.
Então derivando ambos os lados vem
du=-\sin x\,dx\quad\text{ou}\quad \sin x\,dx=-du.
Essa escolha é natural porque já isolamos \sin x\,dx no integrando e o resto está em potências de \cos x.

Passo 5

Substitua na integral usando u=\cos x e \sin x\,dx=-du:
\int \big(1-\cos^{2}x\big)^{2}\cos^{10}x\sin x\,dx = \int \big(1-u^{2}\big)^{2}u^{10}(-du).
Tire o sinal negativo para fora:
= -\int u^{10}\big(1-u^{2}\big)^{2} du.

Passo 6

Expanda o polinômio para integrar termo a termo. Primeiro expandindo \big(1-u^{2}\big)^{2}:
\big(1-u^{2}\big)^{2}=1-2u^{2}+u^{4}.
Multiplicando por u^{10}
u^{10}\big(1-2u^{2}+u^{4}\big)=u^{10}-2u^{12}+u^{14}.
Logo a integral em u é
-\int \big(u^{10}-2u^{12}+u^{14}\big)\,du.

Passo 7

Integre termo a termo usando a regra básica \int u^{n}du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C:
-\left(\int u^{10}du -2\int u^{12}du +\int u^{14}du\right) = -\left(\frac{u^{11}}{11}-2\cdot\frac{u^{13}}{13}+\frac{u^{15}}{15}\right)+C.
Distribuindo o sinal negativo:
-\frac{u^{11}}{11}+\frac{2u^{13}}{13}-\frac{u^{15}}{15}+C.

Passo 8

Volte à variável original com u=\cos x. Substituindo obtemos a primitiva em termos de x:
-\frac{\cos^{11}x}{11}+\frac{2\cos^{13}x}{13}-\frac{\cos^{15}x}{15}+C.
Podemos verificar grosseiramente que diferenciar esse resultado usando a regra da cadeia produziria termos em \sin x\cos^{10}x combinados exatamente como no integrando original, o que dá confiança na correção.

Resposta

-\dfrac{\cos^{11}x}{11}+\dfrac{2\cos^{13}x}{13}-\dfrac{\cos^{15}x}{15}+C

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