Use o método de substituição trigonométrica para calcular as integrais dadas:
\int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen}^{7}(x) \cos ^{5}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi/2} \operatorname{sen}^{7}(x)\cos^{5}(x)\,dx
usando substituição trigonométrica. Vamos precisar usar a propriedade de que, se uma das potências de seno ou cosseno é ímpar, podemos separar um fator e fazer a substituição u=\operatorname{sen}(x) ou u=\cos(x).

Passo 2

Observamos que o expoente de \cos(x) é ímpar 5. Logo, podemos escrever
\cos^{5}(x)=\cos^{4}(x)\,\cos(x)
e usar a identidade \cos^{2}(x)=1-\operatorname{sen}^{2}(x) para reescrever \cos^{4}(x)=[\cos^{2}(x)]^{2}=(1-\operatorname{sen}^{2}(x))^{2}. Assim,
\operatorname{sen}^{7}(x)\cos^{5}(x) =\operatorname{sen}^{7}(x)\,(1-\operatorname{sen}^{2}(x))^{2}\,\cos(x).

Passo 3

Fazemos a substituição
u=\operatorname{sen}(x), \quad du=\cos(x)\,dx.
Quando x=0, u=0. Quando x=\pi/2, u=1. A integral vira
\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}^{7}(x)\cos^{5}(x)\,dx =\int_{0}^{1}u^{7}(1-u^{2})^{2}\,du.

Passo 4

Expandimos (1-u^{2})^{2}=1-2u^{2}+u^{4} e distribuímos:
\int_{0}^{1}u^{7}(1-u^{2})^{2}\,du =\int_{0}^{1}\bigl(u^{7}-2u^{9}+u^{11}\bigr)\,du.
Agora integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}u^{7}\,du =\frac{1}{8}, \quad \int_{0}^{1}u^{9}\,du =\frac{1}{10}, \quad \int_{0}^{1}u^{11}\,du =\frac{1}{12}.
Portanto,
\int_{0}^{1}\bigl(u^{7}-2u^{9}+u^{11}\bigr)\,du =\frac{1}{8}-2\cdot\frac{1}{10}+\frac{1}{12}.

Passo 5

Calculamos o valor numérico:
\frac{1}{8}-\frac{2}{10}+\frac{1}{12} =\frac{15}{120}-\frac{24}{120}+\frac{10}{120} =\frac{1}{120}.

Resposta

\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}^{7}(x)\cos^{5}(x)\,dx=\frac{1}{120}.

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