Use o método de substituição para calcular as integrais dadas:
\int x \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x \operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
usando o método de substituição. O conteúdo é integração por substituição simples, pois temos uma função composta x^2 cuja derivada é 2x.

Passo 2

Fazemos a troca de variável escolhendo
u = x^{2}.
Então
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituímos na integral original:
\int x \sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int \sin(u)\,\bigl(x\,dx\bigr) = \int \sin(u)\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \sin(u)\,du.

Passo 4

Agora integramos \sin(u):
\int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C.
Logo,
\frac{1}{2}\int \sin(u)\,du = \frac{1}{2}\bigl(-\cos(u)\bigr) + C = -\frac{1}{2}\cos(u) + C.

Resposta

-\frac{1}{2}\cos\bigl(x^{2}\bigr) + C

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