Questão 2. (2,5 pontos) Calcule integralC F cdot d r, onde
F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2)
e C é a curva que percorre a fronteira do disco unitário k vezes no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial e é a fronteira do disco unitário percorrida vezes no sentido anti-horário. Vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como aplicar algumas ferramentas de cálculo vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Ela mede o trabalho feito por um campo vetorial ao longo de uma curva. No nosso caso, a curva é a borda de um disco unitário, ou seja, um círculo de raio 1, e estamos percorrendo ele vezes.

Passo 3

Agora, vamos analisar o campo vetorial . Observamos que é semelhante ao campo angular em coordenadas polares. Esse tipo de campo não é conservativo, o que significa que sua integral em um caminho fechado depende de quantas vezes o caminho envolve a origem.

Passo 4

Para calcular a integral, podemos usar a fórmula conhecida para esse tipo de campo: ú. Aqui, o número de voltas é , já que a curva é percorrida vezes no sentido anti-horário.

Passo 5

Aplicando a fórmula, temos:
integralC F cdot d r = 2pi k
Isso significa que a integral de linha vale vezes o número de voltas que damos no círculo.

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados