Questão 2. (2,5 pontos) Calcule
, onde
e
é a curva que percorre a fronteira do disco unitário
vezes no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
e
é a fronteira do disco unitário percorrida
vezes no sentido anti-horário. Vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como aplicar algumas ferramentas de cálculo vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Ela mede o trabalho feito por um campo vetorial ao longo de uma curva. No nosso caso, a curva
é a borda de um disco unitário, ou seja, um círculo de raio 1, e estamos percorrendo ele
vezes.
Passo 3
Agora, vamos analisar o campo vetorial
. Observamos que
é semelhante ao campo angular em coordenadas polares. Esse tipo de campo não é conservativo, o que significa que sua integral em um caminho fechado depende de quantas vezes o caminho envolve a origem.
Passo 4
Para calcular a integral, podemos usar a fórmula conhecida para esse tipo de campo:
. Aqui, o número de voltas é
, já que a curva
é percorrida
vezes no sentido anti-horário.
Passo 5
Aplicando a fórmula, temos:
Isso significa que a integral de linha vale
vezes o número de voltas que damos no círculo.
Resposta
A integral
é igual a
.