Questão 3: Seja f=y^2 z i+x z^2 j+(x y+1) k um campo vetorial.
(a) (Até 05 pontos) Calcule divergente do campo f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um campo vetorial dado por f = y^2 z i + x z^2 j + (x y + 1) k. O que a gente precisa fazer aqui é calcular o divergente desse campo. Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente no estudo de divergência, que nos ajuda a entender como o campo se comporta em termos de “fluxo” em diferentes pontos do espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente. O divergente de um campo vetorial f = fx i + fy j + fz k é dado por:
nabla cdot f = partial fxpartial x + partial fypartial y + partial fzpartial z
Ou seja, é a soma das derivadas parciais de cada componente do campo em relação à sua coordenada correspondente.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo f:
fx = y^2 z, fy = x z^2, fz = x y + 1
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais.

Passo 4

Primeira derivada parcial:
partial fxpartial x = partialpartial x (y^2 z)
Como y e z são tratadas como constantes quando diferenciamos em relação a x, essa derivada é zero:
partial fxpartial x = 0

Passo 5

Segunda derivada parcial:
partial fypartial y = partialpartial y (x z^2)
Aqui, x e z são constantes em relação a y, então também temos:
partial fypartial y = 0

Passo 6

Terceira derivada parcial:
partial fzpartial z = partialpartial z (x y + 1)
Novamente, x e y são constantes em relação a z, então:
partial fzpartial z = 0

Resposta

Somando tudo, o divergente do campo f é:
nabla cdot f = 0 + 0 + 0 = 0

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