Use séries de potências para determinar as soluções
dos problemas abaixo(retome o Exercício 20 da Lista 1):
onde
e
.
Passo 1
Estamos resolvendo a equação diferencial 2 y’’ + x y’ + y = 0 com condições iniciais y(0)=1 e y’(0)=0 usando séries de potências. Para isso, vamos supor uma solução da forma y(x)=∑_{n=0}^∞ a_n x^n e determinar os coeficientes a_n.
Passo 2
Calculamos as derivadas em série. Temos
Passo 3
Substituímos essas séries na EDO:
Reescrevendo x y’ como
e igualando termo a termo, obtemos a relação de recorrência
ou seja
Passo 4
Usando as condições iniciais, a_0=y(0)=1 e a_1=y’(0)=0. A recorrência mostra que todos os termos ímpares são nulos e, para os pares, se n=2k gera
Passo 5
Reconhecemos que a série obtida é
Resposta
y(x) = \exp\bigl(-\tfrac{x^2}{4}\bigr)