Use séries de potências para determinar as soluções y(x) dos problemas abaixo(retome o Exercício 20 da Lista 1):
2 y^prime prime+x y^prime+y=0 onde y(0)=1 e y^prime(0)=0.

Passo 1

Estamos resolvendo a equação diferencial 2 y’’ + x y’ + y = 0 com condições iniciais y(0)=1 e y’(0)=0 usando séries de potências. Para isso, vamos supor uma solução da forma y(x)=∑_{n=0}^∞ a_n x^n e determinar os coeficientes a_n.

Passo 2

Calculamos as derivadas em série. Temos
y(x)=sumn=0^infty an x^n, y'(x)=sumn=0^infty (n+1)an+1x^n, y''(x)=sumn=0^infty (n+2)(n+1)an+2x^n

Passo 3

Substituímos essas séries na EDO:
2sumn=0^infty (n+2)(n+1)an+2x^n + xsumn=0^infty (n+1)an+1x^n + sumn=0^infty anx^n = 0
Reescrevendo x y’ como sumn=0^infty n an x^n e igualando termo a termo, obtemos a relação de recorrência
2(n+2)(n+1)an+2 + (n+1)an = 0
ou seja
an+2 = -12(n+2),an

Passo 4

Usando as condições iniciais, a_0=y(0)=1 e a_1=y’(0)=0. A recorrência mostra que todos os termos ímpares são nulos e, para os pares, se n=2k gera
a2k = (-1)^k14^k k!a0 = (-1)^k14^k k!

Passo 5

Reconhecemos que a série obtida é
y(x)=sumk=0^infty (-1)^kx^2k4^k k! = expl(-tfracx^24r)

Resposta

y(x) = \exp\bigl(-\tfrac{x^2}{4}\bigr)

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