QUESTĀO 1 (1.5 pontos) O Teorema do Valor Intermediário tem o seguinte enunciado:
Seja f:[a, b] R uma função contúnua. Entäo, para todo valor k in R entre f(a) e f(b), existe um ponto c in] a, b[ tal que f(c)=k.
Classifique as afirmativas a seguir em verdadeiras ou falsas.
(A) Pelo Teorema do Valor Intermediário, é possível garantir que todo múmero real positivo a possui uma raiz quadrada.
(B) Pelo Teorema do Valor Intermediário, é possível garantir que todo polinômio de grau impar possui uma raiz.
© Seja f:[a, b] R uma função contínua tal que f(a)<0 e f(b)>0. Então, pelo Teorema do Valor Intermediário, é possivel garantir que f tem pelo mencs uma raiz real no intervalo [a, b].
(D) Seja f:[a, b] R uma função contínua tal que f(a)<0 e f(b)>0. Então, pelo Teorema do Valor Intermediário, é possivel garantir que f tem uma única raiz real no intervalo [a, b].
(E) Seja f:[a, b] R uma função contínua tal que f(a)>0 e f(b)>0. Então, pelo Teorema do Valor Intermediário, é possivel garantir que f não tem nenhuma raiz real no intervalo [a, b].

Passo 1

A questão pede para classificar cinco afirmativas como verdadeiras ou falsas usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Vamos usar que esse teorema se aplica a funções contínuas em um intervalo fechado e garante a existência de pontos em que a função atinge valores intermediários.
O Teorema do Valor Intermediário diz: seja f:[a,b]toR contínua. Se k está entre f(a) e f(b), então existe cin(a,b) tal que f(c)=k.

Passo 2

Analisando (A): queremos mostrar que todo a>0 tem raiz quadrada. Considere f(x)=x^2, contínua em [0,max(1,a)]. Temos f(0)=0 e f(max(1,a))=max(1,a)^2>= a. Como a está entre 0 e max(1,a)^2, o TVI garante c>=0 com c^2=a. Logo, (A) é verdadeira.

Passo 3

Analisando (B): seja p(x) um polinômio ímpar de grau 2n+1. Para xto-infty, p(x)to-infty e para xto+infty, p(x)to+infty. Escolhendo a<0 com p(a)<0, o TVI dá ao menos um cin(a,b) tal que p(c)=0. Logo, (B) é verdadeira.

Passo 4

Analisando ©: se f(a)<0 e f(b)>0 para função contínua em [a,b], então 0 está entre f(a) e f(b). Pelo TVI existe cin(a,b) com f(c)=0. Logo, © é verdadeira.

Passo 5

Analisando (D): o TVI garante pelo menos uma raiz quando os sinais de f(a) e f(b) são opostos, mas nada impede mais de uma raiz dentro de [a,b]. Então não podemos garantir unicidade. Logo, (D) é falsa.

Passo 6

Analisando (E): se f(a)>0 e f(b)>0, o TVI não diz nada sobre ausência de raízes; a função pode baixar a zero e subir de novo sem mudar os sinais nos extremos. Portanto, não se garante que não haja raiz. Logo, (E) é falsa.

Resposta

A) Verdadeira
B) Verdadeira
C) Verdadeira
D) Falsa
E) Falsa

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