QUESTĀO 1 (1.5 pontos) O Teorema do Valor Intermediário tem o seguinte enunciado:
Seja
uma função contúnua. Entäo, para todo valor
entre
e
, existe um ponto
tal que
.
Classifique as afirmativas a seguir em verdadeiras ou falsas.
(A) Pelo Teorema do Valor Intermediário, é possível garantir que todo múmero real positivo a possui uma raiz quadrada.
(B) Pelo Teorema do Valor Intermediário, é possível garantir que todo polinômio de grau impar possui uma raiz.
© Seja
uma função contínua tal que
e
. Então, pelo Teorema do Valor Intermediário, é possivel garantir que
tem pelo mencs uma raiz real no intervalo
.
(D) Seja
uma função contínua tal que
e
. Então, pelo Teorema do Valor Intermediário, é possivel garantir que
tem uma única raiz real no intervalo
.
(E) Seja
uma função contínua tal que
e
. Então, pelo Teorema do Valor Intermediário, é possivel garantir que
não tem nenhuma raiz real no intervalo
.
Seja
(A) Pelo Teorema do Valor Intermediário, é possível garantir que todo múmero real positivo a possui uma raiz quadrada.
(B) Pelo Teorema do Valor Intermediário, é possível garantir que todo polinômio de grau impar possui uma raiz.
© Seja
(D) Seja
(E) Seja
Passo 1
A questão pede para classificar cinco afirmativas como verdadeiras ou falsas usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Vamos usar que esse teorema se aplica a funções contínuas em um intervalo fechado e garante a existência de pontos em que a função atinge valores intermediários.
O Teorema do Valor Intermediário diz: seja contínua. Se
está entre
e
, então existe
tal que
.
O Teorema do Valor Intermediário diz: seja
Passo 2
Analisando (A): queremos mostrar que todo
tem raiz quadrada. Considere
, contínua em
. Temos
e
. Como
está entre
e
, o TVI garante
com
. Logo, (A) é verdadeira.
Passo 3
Analisando (B): seja
um polinômio ímpar de grau
. Para
,
e para
,
. Escolhendo
com
, o TVI dá ao menos um
tal que
. Logo, (B) é verdadeira.
Passo 4
Analisando ©: se
e
para função contínua em
, então 0 está entre
e
. Pelo TVI existe
com
. Logo, © é verdadeira.
Passo 5
Analisando (D): o TVI garante pelo menos uma raiz quando os sinais de
e
são opostos, mas nada impede mais de uma raiz dentro de
. Então não podemos garantir unicidade. Logo, (D) é falsa.
Passo 6
Analisando (E): se
e
, o TVI não diz nada sobre ausência de raízes; a função pode baixar a zero e subir de novo sem mudar os sinais nos extremos. Portanto, não se garante que não haja raiz. Logo, (E) é falsa.
Resposta
A) Verdadeira
B) Verdadeira
C) Verdadeira
D) Falsa
E) Falsa
B) Verdadeira
C) Verdadeira
D) Falsa
E) Falsa